Flammscher Paraboloid

Die Schwarzschild-Metrik bezeichnet, speziell im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der einsteinschen Feldgleichungen.

Die äußere Schwarzschild-Lösung ist die Vakuumlösung der Feldgleichungen für den sphärisch-symmetrischen Fall. Sie wurde 1916 von dem deutschen Astronomen und Physiker Karl Schwarzschild gefunden und war die erste bekannte exakte Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen.

Eine zweite, die innere Schwarzschild-Lösung, folgte unmittelbar darauf als Publikation über ein Gravitationsfeld. Sie beschreibt die Metrik einer homogen gedachten Flüssigkeitskugel und gilt als Modell mit einfachster Näherungslösung für jedes nichtrotierende Objekt mit einer mittleren Verteilung (feste Erde, Sonne aus Gas bzw. Plasma, gemittelt gleichverteilt gedachtes interstellares Gas). Die Integration der Feldgleichungen reduziert sich auf die einfache lineare Summation eines Potentials von r = 0 bis r = R für einen Körper mit Radius R oder ein als kugelförmig gleichverteilt gedachtes Gas im Universum bis zu seiner Grenze R).

Das vollständige Schwarzschild-Modell bestehend aus der inneren Lösung und der äußeren Lösung beschreibt das Gravitationsfeld eines nichtrotierenden Sterns oder Planeten und lässt keine Spekulationen über Singularitäten wie Schwarze Löcher zu. Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen übereinstimmen.

Äußere Lösung

Linienelement

Die Einstein'schen Feldgleichungen

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu} R=\kappa T_{\mu\nu}$

koppeln den Energie-Impuls-Tensor T_μν über die einsteinsche Gravitationskonstante κ mit der Geometrie des Raumes beschrieben durch den metrischen Tensor g_μν. Hierbei sind R_μν der Ricci-Tensor und R der Krümmungsskalar. Im Vakuum mit T_μν = 0 und unter der Annahme sphärischer Symmetrie lassen sich die Feldgleichungen elementar integrieren. Für das Linienelement in Kugelkoordinaten ergibt sich

$\mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}=-c^2 \left( 1-\frac{2GM}{c^2 r} \right )\mathrm{d}t^2+\frac {1}{1-\frac{2GM}{c^2 r}}\mathrm{d}r^2 +r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2$.

Im häufig verwendeten natürlichen Einheitensystem wird G = c = 1 gesetzt, so dass das Linienelement

$\mathrm{d}s^2= - \left( 1-\frac{2M}{r} \right )\mathrm{d}t^2+\frac {1}{1-\frac{2M}{r}}\mathrm{d}r^2 +r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2$

lautet. Durch die Ersetzung von M durch GM / c², mit G als Gravitationskonstante und t durch ct, schließt man wieder an das physikalische Maßsystem an. Die Ausdrücke vor den Koordinatendifferenzialen sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors g_μν in Schwarzschild-Koordinaten. M entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.

Geometrische Deutung

Mathematischer Plot eines Schwarzschild Wurmlochs.

Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:

1. Deutet man die radiale Koordinatenlinie r als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der riemannschen Geometrie herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet.

Man nennt r_s = 2M den Schwarzschildradius und die dort befindliche Grenzfläche den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch häufig als Synonym für den Schwarzschildradius verwendet wird. An dieser Stelle besitzt der radiale Teil der Metrik eine Singularität. Dies ist allerdings nicht physikalisch, sondern auf einem Artefakt der Schwarzschild-Koordinaten. Durch Wahl geeigneter Koordinaten, wie der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, kann dieses Problem beseitigt werden.

Innerhalb des Schwarzschildradius vertauschen Raum- und Zeitkoordinate ihre Bedeutung, da das radiale Linienelement zeitartig und das vormals zeitartige Linienelement raumartig wird. Eine Bewegung durch den Raum wird eine Bewegung durch die Zeit und umgekehrt. Dabei tritt der Schwarzschildradius erst dann physikalisch in Erscheinung, wenn sich eine große Masse, wie etwa ein schwerer Stern, auf einen Bereich innerhalb des Schwarzschildradius zusammengezogen hat. Dies liegt daran, dass der Schwarzschildradius nur außerhalb des gravitierenden Körpers existiert, nicht aber innerhalb. Solch ein Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet, wobei dieses bei r = 0 nun eine physikalische Singularität enthält. Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten enthalten Lösungen für eine mögliche Verknüpfung zu einem weißen Loch, aus welchem Materie aus- aber nicht eindringen kann. Verbindungen dieser Art heißen Wurmlöcher und der Übergang von einem schwarzen- zu einem weißen Loch die Einstein-Rosen-Brücke. Das Schwarzschild-Wurmloch ist zwar eine mathematische Lösung der Einsteingleichungen, kann jedoch nicht existieren, da die Verbindung zu keinem Zeitpunkt geschaffen wird. Selbst im Falle einer offenen Verbindung kollabiert diese bei Annäherung an die Singularität. Stabil wäre sie nur unter Verwendung einer spekulativen, negativen Energiedichte.

2. Die andere Interpretation lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu verstehen. Die Krümmungen der Raumzeit bestimmen dabei die Gravitationswirkungen. Aus Gründen der besseren Verständlichkeit kann man sich die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen, um dann ihre Krümmung zu veranschaulichen. Für den Raumteil des Schwarzschildmodells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel $R^2= 8M (r-2M)\$, wobei R die zusätzliche Dimension im Einbettungsraum bezeichnet, die Extradimension genannt wird. An r = 0 liegt die Leitlinie der Parabel und an r = 2M ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel (R > 0) um die Leitlinie durch den Winkel θ, erhält man unter Hinweglassung der letzten zwei Dimensionen eine Fläche 4. Ordnung, das Flammsche Paraboloid.

Äußere Schwarzschildlösung (Flamm'sches Paraboloid)

Die Koordinate r ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. An r_s = 2M befindet sich eine Scheinsingularität, die durch eine geeignete Wahl der Koordinaten behoben werden kann. Für r < 2M kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable r hat den Wertebereich $\left [{2M, \infty} \right]$. Das am Flammschen Paraboloid entstehende 'Loch' wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann.

Die Extradimension R wird aus Gründen der Nützlichkeit eingeführt und dient zur Veranschaulichung der geometrischen Verhältnisse. Ihr braucht keine physikalische Realität zugeordnet werden. Gekrümmte Räume können durch ihre inneren Eigenschaften ohne Zuhilfenahme eines Einbettungsraums beschrieben werden und unser Anschauungsvermögen lässt auch nicht mehr als vier Dimensionen zu.

Anwendungen

Obwohl die äußere Schwarzschild-Metrik nur näherungsweise das Feld eines stellaren Objekts beschreibt, so führt sie auf unser Sonnensystem angewendet zu befriedigenden Ergebnissen. Die mit ihrer Hilfe berechneten Werte für die Ablenkung des Lichtes an der Sonne und der Periheldrehung der inneren Planeten stimmen mit den Beobachtungen gut überein. Für die Physik innerhalb und außerhalb von Sternen verwendet man jedoch das vollständige Schwarzschild-Modell mit der inneren Schwarzschild-Lösung für den Bereich innerhalb des Sterns.

Innere Lösung

Linienelement

Unter den obigen Bedingungen ist das Linienelement in Kugelkoordinaten

$ds^2=g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \frac{1}{1-\frac{r^2}{\mathcal{R}^2}}dr^2+r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 - \frac{1}{4} \left(3 \sqrt{1-\frac {r^2_g}{\mathcal{R}^2}}-\sqrt{1-\frac {r^2}{\mathcal{R}^2}} \right)^2 dt^2$

eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. $\mathcal{R}$ ist eine Konstante und r_g der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.

Geometrische Deutung

Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Substitution

$r=\mathcal{R} \sin\,\eta,\ r_g=\mathcal{R} \sin\, \eta_g, \ dt=2\mathcal{R}d\psi$

erhält man

$ds^2= \mathcal{R}^2 d\eta^2+\mathcal{R}^2 \sin^2\eta\, d\theta^2 + \mathcal{R}^2 \sin^2\eta\, \sin^2 \theta\, d\phi^2 + \left( 3\mathcal{R} \cos\, \eta_g - \mathcal{R} \cos\,\eta \right)^2 d\psi^2$

woraus ersichtlich ist, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius $\mathcal{R}$ und mit dem Öffnungswinkel η_g ist.

Vollständige Schwarzschild-Lösung

Um zu einer Vorstellung zu kommen, wie sich die vollständige Schwarzschildsche Lösung mit Hilfe einer Extradimension in einem ebenen Raum einbetten lässt, beschränkt man sich zunächst auf die ersten zwei Terme der Linienelemente. Die äußere Lösung wird durch das Flammsche Paraboloid visualisiert. Diese Fläche wird an geeigneter Stelle r = r_g abgeschnitten und von unten her eine Kugelhaube so angepasst, dass die Tangentialflächen beider Schwarzschild-Flächen zusammenfallen.

Vollständige Schwarzschildsche Lösung

Hinzunahme des dritten Terms in der Metrik bringt eine Wiederholung dieser Überlegung für eine weitere Teilfläche. Der Zeitteil der Metrik ist nur dann verständlich, wenn man den darin enthaltenen Faktor 3 auf eine Grundeigenschaft der Parabel als bestimmende Kurve der äußeren Lösung zurückführt. Verlängert man den Krümmungsvektor der Parabel bis zu ihrer Leitlinie, so haben die Abschnitte der entstehenden Strecke das Verhältnis 1:2. Da an der Grenzfläche der Abstand der Parabel zur Leitlinie $\mathcal{R}$ ist, hat der Krümmungsvektor dort die Länge $2\mathcal{R}$ und die ganze Strecke $3\mathcal{R}$. Die Projektion in die Richtung der Extradimension ist $3\mathcal{R}\cos\eta_g$. Der Radiusvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Kugelhaube hat die Projektion $\mathcal{R}\cos\eta$. Die beiden Stecken werden um den imaginären Winkel iψ rotiert. Es entstehen zwei konzentrische imaginäre (offene) Kreise, deren pseudoreelles Abbild Hyperbeln sind. (Imaginäre Kreise werden auch Hyperbeln konstanter Krümmung genannt.) Der Abstand der Kreise entspricht dem Klammerausdruck in der obigen Metrik. Beim Fortschreiten auf den Kreisen um diψ überstreicht diese Strecke eine Fläche, die proportional zur vergangenen Zeit ist.

Erhaltungssatz

Den Energie-Impulstensor der Materie berechnet man aus den Feldgleichungen. Er hat die Form

$T_{mn}=\begin{pmatrix}-p&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;\\&amp;amp;amp;-p&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;\\&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;-p&amp;amp;amp;\\&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;\mu_0\end{pmatrix}$.

Der hydrostatische Druck

$p={1\over\kappa} \frac{\cos\eta-\cos\eta_g}{3\cos\eta_g-\cos\eta}$

nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel η_g der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können auch keine schwarzen Löcher beschrieben werden.

Die Energiedichte

$\mu_0= \frac{1}{\kappa} \frac{3}{\mathcal{R}^2}$

entspricht bis auf einen Faktor c² der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Druck und Energiedichte sind kovariant erhalten. In

$T_{m\ || n} ^{\ n}=0$

bedeutet der Doppelstrich die kovariante Ableitung in der Vierbeindarstellung. Aus dem einfachen Aufbau von T_mn erhält man

$p_{||m} = \left( p + \mu_0 \right) E_m, \quad \dot p=0, \quad \dot \mu_0=0$.

Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes

$E_m = \left\{ -\frac{1}{\mathcal{R}} \frac{\sin\eta}{3\cos\eta_g-\cos\eta }, 0, 0, 0\right\}$

bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Der Energie-Impulstensor ist geometrischer Natur. Die oben angeführten Ausdrücke für den Druck und die Energiedichte leiten sich aus den verallgemeinerten zweiten Fundamentalformen der Flächentheorie her, die Einstein'schen Feldgleichungen aus den Gaußschen Gleichungen und der Erhaltungssatz aus den Mainardi-Codazzi-Gleichungen. Die innere Schwarzschild-Lösung kann als erster und sehr einfacher Versuch der Geometrisierung der Materie angesehen werden.

Siehe auch

• Kerr-Metrik
• Reissner-Nordström-Metrik
• Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

Literatur

Originalarbeiten

• Ludwig Flamm: Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie. In: Physikalische Zeitung, Bd. 17 (1916), S. 448.
• Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Reimer, Berlin 1916, S. 189 ff. (Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften; 1916)
• Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Reimer, Berlin 1916, S. 424-434 (Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften; 1916)

Weiterführende Literatur

• Arthur Stanley Eddington: The mathematical theory of relativity. Chelsea Publications, New York 1975, ISBN 0-8284-0278-7.
• Stephen Hawking, George Ellis: The large scale structure of space-time. CUP, Cambridge 2006, ISBN 0-521-09906-4 (Nachdruck der Ausgabe Cambridge 1973).
• Pascual Jordan: Schwerkraft und Weltall. Vieweg, Braunschweig 1955.
• Max von Laue: Die allgemeine Relativitätstheorie (Die Relativitätstheorie; 2). Vieweg, Braunschweig 1965.
• Christian Møller: The theory of relativity. OUP, Oxford 1972, ISBN 0-19-851256-2.
• Wolfgang Rindler: Essential relativity. Special, general and cosmological. Springer-Verlag, Berlin 1997, ISBN 3-540-10090-3.
• Jakow Borissowitsch Seldowitsch, Igor Dmitrijewitsch Nowikow: Relativistic Astrophysics. The University of Chicago Press, Chicago, Ill.
  • 1. Bd. Stars and relativity. 1978, ISBN 0-226-97956-3.
  • 2. Bd. The structure and evolution of the universe. 1983, ISBN 0-226-97957-1.
• John Lighton Synge: Relativity. The general theory. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1976, ISBN 0-7204-0066-X.
• Richard C. Tolman: Relativity, thermodynamics and cosmology. Dover Publications, New York 1987, ISBN 0-486-65383-8 (Nachdruck der Ausgabe Oxford 1934).
• Kip S. Thorne: Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy