Effektives Potential

Effektives Potential im Gravitationsfeld

Das effektive Potential ist ein Begriff aus der Mechanik, der bei der Behandlung von Zentralkräften, wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung nützlich ist. Dabei wird die azimutale Bewegungsenergie mit der potentiellen Energie in das effektive Potential vereinigt.

Ein Körper, der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand r vom Kraftzentrum bewegt, hat eine Gesamtenergie, die sich aus der potentiellen Energie V und der kinetischen Energie E_kin zusammensetzt. In Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ ergibt sich:

$E = V + E_\mathrm{kin} = V(r) + \frac{1}{2}m(r\dot{\varphi})^2 + \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \, .$

Den azimutalen Anteil der kinetischen Energie kann man durch den Drehimpuls

$L=mr^2\dot{\varphi}$

ausdrücken und mit der potentiellen Energie V zusammenfassen:

$E = V(r) + \frac{L^2}{2 m r^2} + \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = V'(r) + \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \, ,$

wobei das effektive Potential V' wie folgt definiert ist:

$V'(r) = V(r) + \frac{L^2}{2 m r^2} \, .$

Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere.

Da der Drehimpuls L bei einer Zentralkraft konstant ist, hat man es statt einer partiellen Differentialgleichung nun nur noch mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate r zu tun, die zu lösen ist. Die Lösung der Differentialgleichung geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veränderlichen mit den Bewegungskonstanten E und L als Parametern.

Für E < 0 ergeben sich zunächst zwei Schnittpunkte r_min und r_max mit der effektiven Potentialkurve, zwischen denen sich der Körper auf seiner Bahn bewegt. Für das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhält eine Kreisbahn.

Siehe auch: Zentralkraft