Allgemeine Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie (kurz: ART) beschreibt die Wechselwirkung zwischen Materie (einschließlich Feldern) einerseits und Raum und Zeit andererseits. Sie deutet Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit. Die Grundlagen der Theorie wurden maßgeblich von Albert Einstein entwickelt, der den Kern der Theorie am 25. November 1915 der Preußischen Akademie der Wissenschaften vortrug. Zur Beschreibung der gekrümmten Raumzeit bediente er sich der Differentialgeometrie.

Die allgemeine Relativitätstheorie erweitert die spezielle Relativitätstheorie und geht für hinreichend kleine Gebiete der Raumzeit in diese über. Gleichzeitig ist sie eine Erweiterung des newtonschen Gravitationsgesetzes. Sie enthält dieses als Grenzfall für hinreichend kleine Massendichten und Geschwindigkeiten. Die allgemeine Relativitätstheorie wurde vielfach experimentell bestätigt (s. Tests der allgemeinen Relativitätstheorie), so dass sie als Gravitationstheorie allgemein anerkannt ist. Insbesondere hat sie sich bisher in der von Einstein formulierten Form gegen alle später vorgeschlagenen Alternativen durchsetzen können. Offene Fragen betreffen vor allem die Beziehung zur Quantenmechanik.

Dieser Artikel baut auf den Ausführungen des Artikels Relativitätstheorie auf und soll die dortigen Ausführungen vertiefen.

Einführung

Grundlegend für die allgemeine Relativitätstheorie ist eine Wechselwirkung zwischen allen Typen physikalischer Systeme, die Energie und Impuls tragen können, („Materie“) und der Raumzeit mit zwei Eigenschaften:

• Energie und Impuls der Materie beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, in der sie sich befinden. Dieser Einfluss lässt sich über einen allgemeinen Krümmungsbegriff formulieren, und in der ART werden Raum und Zeit durch den Begriff der Raumzeitkrümmung beschrieben.
• Materie, auf die keine Kraft ausgeübt wird, bewegt sich in Raum und Zeit entsprechend der klassischen Vorstellung entlang einer Geodäte. Eine Geodäte der Raumzeit ist jedoch meist keine Gerade. Geraden sind Geodäten ungekrümmter Räume, wie des 3-dimensionalen Raumes der klassischen Mechanik. Den Einfluss von Materie auf diese Bewegung, den die klassische Mechanik mithilfe der Gravitation beschreibt, beschreibt die ART ausschließlich über die Geometrie der Raumzeit. Dabei wird eine Bewegung eines Gegenstands entlang eines bestimmten Weges im Raum wie in der speziellen Relativitätstheorie als Weg in den vier Dimensionen der Raumzeit interpretiert und seine Weltlinie genannt.

Die erste Aussage beschreibt eine Wirkung der Materie auf die Raumzeit, die zweite beschreibt die Auswirkung der Raumzeit auf die Bewegung der Materie. Die Anwesenheit von Materie verändert also die geometrischen Verhältnisse der Raumzeit, aus denen sich auch die Bewegungsgleichungen der Materie ergeben. Die ART betrachtet dabei die räumlichen und zeitlichen Koordinaten als gleichberechtigt und behandelt alle zeitlichen Änderungen als geometrisches Problem.

Grundlegende Konzepte

Die Ausgangspunkte der ART lassen sich als drei grundlegende Prinzipien formulieren: das allgemeine Relativitätsprinzip, das Äquivalenzprinzip und das Machsche Prinzip.^[1]

Die Theorie folgt nicht zwingend aus diesen Prämissen, und zumindest beim machschen Prinzip ist unklar, ob die ART es überhaupt erfüllt. Die drei Prinzipien erklären aber, welche physikalischen Probleme Einstein dazu veranlassten, die ART als neue Gravitationstheorie zu formulieren.

Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut logisch auf dem Äquivalenzprinzip auf, deshalb wird sie in diesem Kapitel ebenfalls behandelt.

Relativitätsprinzip

→ Hauptartikel: Relativitätsprinzip

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird ein gegenüber der speziellen Relativitätstheorie erweitertes Relativitätsprinzip angenommen: Die Gesetze der Physik haben nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form, sondern auch in Bezug auf alle Koordinatensysteme. Dies gilt für alle Koordinatensysteme, die jedem Ereignis in Raum und Zeit vier Parameter zuweisen. Wobei diese Parameter auf kleinen Raumzeitgebieten, die der speziellen Relativitätstheorie gehorchen, hinreichend differenzierbare Funktionen der dort lokal definierbaren kartesischen Koordinaten sind. Diese Forderung an das Koordinatensystem ist nötig, damit die Methoden der Differentialgeometrie für die gekrümmte Raumzeit überhaupt angewendet werden können. Eine gekrümmte Raumzeit ist dabei im Allgemeinen nicht mehr global mit einem kartesischen Koordinatensystem zu beschreiben. Das erweiterte Relativitätsprinzip wird auch allgemeine Koordinaten-Kovarianz genannt.

Die Koordinaten-Kovarianz ist eine Forderung an die Formulierung von Gleichungen (Feldgleichungen, Bewegungsgleichungen), die in der ART Gültigkeit besitzen sollen. Allerdings lässt sich auch die spezielle Relativitätstheorie bereits allgemein kovariant formulieren. So kann beispielsweise selbst ein Beobachter auf einem rotierenden Drehstuhl den Standpunkt vertreten, er selbst sei in Ruhe und der Kosmos rotiere um ihn herum. Dabei entsteht das Paradoxon, dass sich die Sterne und das von ihnen ausgesandte Licht im Koordinatensystem des rotierenden Beobachters rechnerisch mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, was scheinbar der speziellen Relativitätstheorie widerspricht. Die Auflösung dieses Paradoxons ist, dass die allgemein kovariante Beschreibung per Definition lokal ist. Das bedeutet, dass die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur nahe der Weltlinie des Beobachters gelten muss, was für den rotierenden Beobachter ebenso erfüllt ist, wie für jeden anderen Beobachter. Die kovariant, also im Sinne des allgemeinen Relativitätsprinzips, geschriebenen Gleichungen ergeben für die Sterne also überlichtschnelle Kreisbewegungen, stehen aber dennoch im Einklang mit den Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird auch dadurch klar, dass es unmöglich ist, dass ein Beobachter in der Nähe eines Sterns im rotierenden Koordinatensystem ruht und also dem Stern mit Überlichtgeschwindigkeit begegnet. Dieser Beobachter hat also zwangsweise ein anderes Koordinatensystem als der rotierende Beobachter und misst die „richtige“ Lichtgeschwindigkeit.

Obwohl es möglich ist, den Kosmos aus der Sicht eines rotierenden Beobachters korrekt zu beschreiben, sind die Gleichungen eines Bezugssystems, in dem die meisten Objekte ruhen oder sich nur langsam bewegen, meist einfacher. Die Bedingung eines nicht-rotierenden Koordinatensystems für Inertialsysteme und die Unterscheidung in ihrer Betrachtung, den die klassische Physik erfordert, entfällt aber prinzipiell.

Im Fall eines Mehrkörpersystems auf engem Raum ist die Raumzeit hochgradig gekrümmt und die Krümmung in jedem Koordinatensystem auch zeitlich veränderlich. Daher ist von vornherein kein Kandidat für ein ausgezeichnetes Koordinatensystem erkennbar, das sich zur Beschreibung aller Phänomene eignet. Das Relativitätsprinzip besagt für diesen allgemeinen Fall, dass es auch nicht nötig ist, danach zu suchen, weil alle Koordinatensysteme gleichberechtigt sind. Man kann also je nachdem, welches Phänomen man beschreiben will, verschiedene Koordinatensysteme wählen und das rechentechnisch einfachste Modell auswählen.

Daher kann die ART auch auf den klassischen astronomischen Begriff der Scheinbarkeit von Bewegungen verzichten, den das noch in der newtonschen Anschauung verhaftete heliozentrische Weltbild erforderte.

Machsches Prinzip

→ Hauptartikel: Machsches Prinzip

Einstein war bei der Entwicklung der Relativitätstheorie stark von Ernst Mach beeinflusst. Insbesondere die Annahme, dass die Trägheitskräfte eines Körpers nicht von dessen Bewegung relativ zu einem absoluten Raum, sondern von dessen Bewegung relativ zu den anderen Massen im Universum abhängen, welche er als machsches Prinzip bezeichnete, war für Einstein eine wichtige Arbeitsgrundlage. Die Trägheitskräfte sind nach dieser Auffassung also Resultat der Wechselwirkung der Massen untereinander, und ein unabhängig von diesen Massen existierender Raum wird verneint. Demnach sollten beispielsweise Fliehkräfte rotierender Körper verschwinden, wenn das restliche Universum „mitrotiert“.

Diese von Einstein bevorzugte, recht allgemeine Formulierung des machschen Prinzips ist jedoch nur eine von vielen, nicht äquivalenten Formulierungen. Daher ist das machsche Prinzip und sein Verhältnis zur ART bis heute umstritten. Beispielsweise fand Kurt Gödel 1949 ein nach den Gesetzen der ART mögliches Universum, das so genannte Gödel-Universum, welches manchen spezifischen Formulierungen des machschen Prinzips widerspricht. Es gibt jedoch andere spezifische Formulierungen des Prinzips, denen das Gödel-Universum nicht zuwider läuft. Astronomische Beobachtungen zeigen allerdings, dass sich das reale Universum stark von Gödels Modell unterscheidet.

Einstein sah den Lense-Thirring-Effekt, den die ART vorhersagte, als eine Bestätigung seiner Version des machschen Prinzips. Folge dieses Effektes ist, dass Bezugsysteme innerhalb einer rotierenden massebehafteten Hohlkugel eine Präzession erfahren, was Einstein so interpretierte, dass die Masse der Kugel Einfluss auf die Trägheitskräfte hat. Da jedoch bei der Rechnung und der Interpretation ein „ruhendes“ Bezugsystem in Form eines Fixsternhimmels angenommen wurde, ist auch diese Interpretation umstritten.

Die allgemein gehaltene Version des machschen Prinzips, die Einstein formulierte, ist also zu ungenau, um entscheiden zu können, ob sie mit der ART vereinbar ist.

Äquivalenzprinzip

→ Hauptartikel: Äquivalenzprinzip (Physik)

Im freien Fall (rechts unten) sind die physikalischen Phänomene genauso wie in Schwerelosigkeit (mitte links). Ein Beobachter kann mit lokalen Mitteln nicht zwischen wirkender Gravitation und einer Beschleunigung des Raums, in dem er sich befindet, unterscheiden. Licht (rot) breitet sich auf gekrümmten Bahnen aus. Objekte werden in die gleiche Richtung gezogen.

Bereits in der klassischen Mechanik war das Prinzip der Äquivalenz von träger und schwerer Masse bekannt. Es besagt in seiner klassischen Form, die man auch als schwaches Äquivalenzprinzip bezeichnet, dass die schwere Masse, die angibt, wie stark die durch ein Gravitationsfeld an einem Körper erzeugte Kraft ist, und die träge Masse, die durch das Kraftgesetz festlegt, wie stark ein Körper durch eine Kraft beschleunigt wird, äquivalent sind. Dies bedeutet insbesondere, dass jeder Körper sich unabhängig von seiner Masse in einem Schwerefeld (bei Abwesenheit anderer Kräfte) gleich bewegt. (Geladene Körper sind davon aufgrund der Synchrotronstrahlung ausgeschlossen.) So fallen beispielsweise im Vakuum alle (ungeladenen) Körper gleich schnell, und die geostationäre Bahn ist für schwere Satelliten wie für leichte Satelliten stets dieselbe. Folge des klassischen Äquivalenzprinzips ist, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Labor, ohne Information von außen, aus dem mechanischen Verhalten von Gegenständen im Labor nicht ablesen kann, ob er sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.

Dieses Prinzip wurde von Einstein verallgemeinert: Das einsteinsche starke Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Labor ohne Wechselwirkung mit der Umgebung durch überhaupt kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der Schwerelosigkeit fernab von Massen befindet oder im freien Fall nahe einer Masse. Das bedeutet insbesondere, dass auch ein Lichtstrahl für einen Beobachter im freien Fall nicht – wie in einem beschleunigten Bezugssystem – parabelförmig gekrümmt ist. Andererseits muss ein Beobachter, der im Gravitationsfeld ruht, z. B. indem er auf der Erdoberfläche steht, einen Lichtstrahl gekrümmt wahrnehmen, da er die ganze Zeit gegen den freien Fall nach oben beschleunigt wird.

Es muss allerdings beachtet werden, dass dieses Prinzip nur lokal gilt:

• So wird ein „unten“ (näher am Gravizentrum) befindliches Objekt stärker angezogen als ein weiter „oben“ befindliches. Ist der frei fallende Raum in vertikaler Richtung groß genug, so wird der Beobachter daher feststellen, dass Objekte, die sich weiter oben befinden, von denen, die sich weiter unten befinden, entfernen.
• Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler Ausdehnung des Raumes die Richtung der Anziehungskraft auf zwei horizontal voneinander entfernte Objekte merklich unterscheiden, da sie beide in Richtung des Gravitationszentrums beschleunigt werden. Daher wird der frei fallende Beobachter feststellen, dass weit auseinander gelegene Körper sich aufeinander zu bewegen. Ein ausgedehnter Körper wird also eine Kraft erfahren, die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und in den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt.

In der ART folgt das Äquivalenzprinzip direkt aus der Beschreibung der Bewegung von Körpern: Da sich alle Körper entlang Geodäten der Raumzeit bewegen, kann ein Beobachter, der sich entlang einer Geodäte bewegt, nur dann eine Krümmung der Raumzeit feststellen, die er als Gravitationsfeld interpretieren könnte, wenn das von ihm beobachtbare Raumzeitstück maßgeblich gekrümmt ist. In diesem Fall beobachtet er die oben genannten Gezeitenkräfte als eine relative Annäherung oder Entfernung benachbarter frei fallender Körper. Die Krümmung sorgt auch dafür, dass geladene Körper nichtlokal mit ihrem eigenen Feld wechselwirken und daher das Äquivalenzprinzip auf diese prinzipiell nicht anwendbar ist, da ihr elektromagnetisches Feld grundsätzlich langreichweitig ist.^[2]

Raumzeitkrümmung

Siehe auch: Raumkrümmung

Paralleltransporte nahe einer massiven Kugel.
Blaue Pfeile stellen Paralleltransporte im Raum entlang der x-Achse dar.
Rote Pfeile stellen die Bewegung im Raum bei einem Paralleltransport entlang der Zeitachse dar, der einem freien Fall entspricht.
Die Längen der gleichartigen Paralleltransporte sind dabei jeweils gleich, also Δx₁ = Δx₂ und Δt₁ = Δt₂. Beim ersten, oberen Weg wird zuerst der Transport in x-Richtung ausgeführt und dann der Transport in Zeitrichtung. Beim zweiten, unteren Weg wird die Reihenfolge der Paralleltransporte vertauscht. Der grüne Doppelpfeil illustriert die verschiedenen Endpunkte bei Vertauschung der Paralleltransporte.

Die Krümmung der Raumzeit, die in diesem Abschnitt erläutert wird, ist kein unabhängiges Konzept, sondern eine Folgerung aus dem Äquivalenzprinzip. Mit Hilfe des Äquivalenzprinzips lässt sich daher auch der Begriff der Raumzeitkrümmung anschaulich erläutern. Dafür muss zunächst der Begriff des Paralleltransports entlang der Zeitachse erklärt werden.

Ein Paralleltransport ist eine Verschiebung in einer Richtung, bei der die Ausrichtung beibehalten wird, also ein lokales Koordinatensystem mitgeführt wird. Eine Verschiebung in Raumrichtung ist in einer Raumzeit ohne Massen anschaulich verständlich. Die Definition der Zeit ist nach der speziellen Relativitätstheorie von der Bewegung des Koordinatensystems abhängig. Eine konstante Zeitrichtung ist dabei nur für unbeschleunigte Koordinatensysteme gegeben. In diesem Fall bedeutet eine Verschiebung in Zeitrichtung in einer Raumzeit ohne Massen, dass ein Gegenstand relativ zum Koordinatensystem ruht. Er bewegt sich dann entlang der Zeitachse dieses Koordinatensystems.

Nach dem Äquivalenzprinzip lässt sich damit der Paralleltransport entlang der Zeitachse in einem Gravitationsfeld verstehen. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein frei fallender Beobachter in einem Gravitationsfeld äquivalent zu einem unbeschleunigten Beobachter fernab eines Gravitationsfeldes ist. Daher entspricht ein Paralleltransport entlang der Zeitachse um ein Zeitintervall t einem freien Fall der Dauer t. Das bedeutet, dass eine Parallelverschiebung in der Zeit auch eine Bewegung im Raum zur Folge hat. Da aber die Richtung des freien Falls vom Ort abhängig ist, macht es nun einen Unterschied, ob ein Beobachter zuerst im Raum und dann in der Zeit parallel verschoben wird oder umgekehrt. Man sagt, der Paralleltransport ist nicht kommutativ, das heißt die Reihenfolge der Transporte ist bedeutsam.

Bisher wurden große Verschiebungen betrachtet, bei denen offensichtlich die Reihenfolge der Paralleltransporte bedeutend ist. Es ist jedoch sinnvoll, Aussagen über beliebig kleine Bereiche der Raumzeit machen zu können, um auch für kurze Zeiten und Strecken das Verhalten von Körpern beschreiben zu können. Wenn man die Paralleltransporte über immer kürzere Distanzen und Zeiten macht, sind die Endpunkte für verschiedene Reihenfolgen der Transporte weiterhin verschieden, wobei der Unterschied sich aber entsprechend verkleinert. Mit Hilfe von Ableitungen lässt sich ein infinitesimal kleiner Paralleltransport an einem Punkt beschreiben. Das Maß für die Abweichung der Endpunkte bei Vertauschung der Reihenfolge zweier Paralleltransporte ist dann durch den so genannten Krümmungstensor gegeben.

Durch die Raumzeitkrümmung lassen sich auch die oben erwähnten Gezeitenkräfte erklären. Zwei Kugeln im freien Fall in einem frei fallenden Labor bewegen sich beide entlang der Zeitachse, also auf zueinander parallelen Linien. Die Tatsache, dass die Paralleltransporte nicht kommutativ sind, ist äquivalent dazu, dass parallele Linien keinen konstanten Abstand haben. Die Bahnen der Kugeln können sich also einander nähern oder voneinander entfernen. Im Erdschwerefeld ist die Annäherung bei sehr langem Fall nur sehr klein. Wenn die Zeit nun ähnlich wie eine Raumdimension behandelt wird, werden Zeitintervalle mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert. Die Raumzeitkrümmung ist also winzig klein und nur für lange Falldauern überhaupt erkennbar. Dies ist vergleichbar mit einer Wäscheleine, die von der Seite betrachtet gerade erscheint, aber wenn man an ihr entlangsieht, eine Krümmung offenbart.

Zur Beschreibung der Krümmung ist es also nicht nötig, die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum einzubetten. Die Krümmung ist nicht als Krümmung in eine fünfte Dimension zu verstehen oder als eine Krümmung des Raumes in die vierte Dimension, sondern als Nichtkommutativität von Paralleltransporten. Außerdem ist es für diese Darstellung notwendig, Raum und Zeit als vierdimensionale Raumzeit zu behandeln, denn der dreidimensionale Raum allein braucht nicht gekrümmt zu sein.

In welcher Weise die Raumzeit gekrümmt wird, wird in der ART durch die einsteinschen Feldgleichungen festgelegt.

Mathematische Beschreibung

Grundbegriffe

Die mathematische Beschreibung der Raumzeit und ihrer Krümmung erfolgt mit den Methoden der Differentialgeometrie, die die Euklidische Geometrie des uns vertrauten „flachen“ dreidimensionalen Raumes der klassischen Mechanik ablöst. Die Differentialgeometrie verwendet zur Beschreibung gekrümmter Räume, wie der Raumzeit der ART, so genannte Mannigfaltigkeiten. Wichtige Eigenschaften werden mit so genannten Tensoren beschrieben, die Abbildungen auf der Mannigfaltigkeit darstellen.

• Die gekrümmte Raumzeit wird als Lorentz-Mannigfaltigkeit beschrieben.
• Eine besondere Bedeutung kommt dem metrischen Tensor zu. Wenn man in den metrischen Tensor zwei Vektorfelder einsetzt, erhält man für jeden Punkt der Raumzeit eine reelle Zahl. In dieser Hinsicht kann man den metrischen Tensor als ein verallgemeinertes, punktabhängiges Skalarprodukt für Vektoren der Raumzeit verstehen. Mit seiner Hilfe werden Abstand und Winkel definiert und er wird daher kurz als Metrik bezeichnet.
• Ebenso bedeutend ist der riemannsche Krümmungstensor zur Beschreibung der Krümmung der Mannigfaltigkeit, der eine Kombination von ersten und zweiten Ableitungen des metrischen Tensors darstellt. Wenn ein Tensor in irgendeinem Koordinatensystem in einem Punkt nicht null ist, kann man kein Koordinatensystem finden, so dass er in diesem Punkt null wird. Dies gilt dementsprechend auch für den Krümmungstensor. Umgekehrt ist der Krümmungstensor in allen Koordinatensystemen null, wenn er in einem Koordinatensystem null ist. Man kann also unabhängig vom Koordinatensystem entscheiden, ob eine Mannigfaltigkeit an einem bestimmten Punkt gekrümmt ist oder nicht.
• Die maßgebliche Größe zur Beschreibung von Energie und Impuls der Materie ist der Energie-Impuls-Tensor. Wie dieser Tensor die Krümmungseigenschaften der Raumzeit bestimmt, zeigt der folgende Abschnitt.

Einsteinsche Feldgleichungen

→ Hauptartikel: Einsteinsche Feldgleichungen

Die einsteinschen Feldgleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen einigen Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor her, der die lokale Massendichte beziehungsweise über E = mc² die Energiedichte enthält und damit die relevanten Eigenschaften der Materie charakterisiert.

Diese Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten 10 unabhängige Komponenten, ähnlich wie eine Vektorgleichung des euklidischen Raumes aus 3 Komponenten besteht:

$R_{\mu\nu} - \frac{R}{2}\, g_{\mu\nu} + \Lambda\, g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}\, T_{\mu\nu}$.

Dabei ist R_μν der Ricci-Krümmungstensor, R der Ricci-Krümmungsskalar, g_μν der metrische Tensor, Λ die kosmologische Konstante,^[3] c die Lichtgeschwindigkeit, G die Gravitationskonstante und T_μν der Energie-Impuls-Tensor. Da alle Tensoren in dieser Gleichung symmetrisch sind (z. B. R_μν = R_νμ), sind nur 10 dieser 16 Gleichungen unabhängig voneinander.

Das Ziel ist es, die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors auf der rechten Seite der Gleichungen vorzugeben und die Feldgleichungen dann zu verwenden, um die Metrik zu bestimmen. Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung besteht aus Größen, die vom Krümmungstensor hergeleitet sind. Sie enthalten daher Ableitungen der gesuchten Metrik. Man erhält also 10 Differentialgleichungen für die Komponenten der Metrik. Die Metrik und ihre Ableitungen finden sich jedoch meist auch auf der rechten Seite der Gleichungen im Energie-Impulstensor. Erschwerend kommt hinzu, dass die Summe von zwei Lösungen im Allgemeinen keine Lösung der Feldgleichungen ist, die Lösungen sind also nicht superponierbar. Dies liegt an der Nichtlinearität der Feldgleichungen, die als ein Hauptkennzeichen der ART gilt. Aufgrund dieser Komplexität der Gleichungen ist es oft nicht möglich, exakte Lösungen für die Feldgleichungen zu finden. In solchen Fällen können zum Teil Verfahren zum Finden einer Näherungslösung verwendet werden.

In den Feldgleichungen steht nicht der Krümmungstensor, sondern nur der aus ihm abgeleitete Ricci-Krümmungstensor und der Ricci-Krümmungsskalar. Diese beiden Summanden werden zusammengefasst auch als Einsteintensor G_μν bezeichnet, wobei dieser nicht alle Informationen über die Krümmung der Raumzeit enthält. Ein Teil der Raumzeitkrümmung, die so genannte Weyl-Krümmung, ist also nicht direkt vom Energie-Impuls-Tensor und damit von der Massen- und Energiedichte abhängig. Allerdings ist der Weyl-Krümmungstensor nicht frei wählbar, da er aufgrund der geometrischen Bianchi-Identitäten teilweise durch den Ricci-Krümmungstensor festgelegt wird.^[4]

Einstein glaubte zunächst, dass das Universum seine Größe nicht mit der Zeit ändere, daher führte er die kosmologische Konstante Λ ein, um ein solches Universum theoretisch zu ermöglichen. Das Gleichgewicht, das er damit erreichte, erwies sich jedoch als instabiles Gleichgewicht. Λ hat formal den Stellenwert einer Art Integrationskonstanten, und hat daher zunächst keinen bestimmten Zahlenwert, der direkt aus der Theorie folgen würde. Sie muss also experimentell bestimmt werden.^[5] Eine alternative Sicht auf die kosmologische Konstante fasst den entsprechenden Term als Teil des Energie-Impuls-Tensors auf und setzt $T_{\Lambda}^{\mu\nu} = \frac{c^4}{8 \pi G} \Lambda\, g^{\mu\nu}$. Das bedeutet, dass die kosmologische Konstante sich als perfektes Fluid mit negativem Druck darstellt und als außergewöhnliche Form von Materie oder Energie aufgefasst wird. In der heutigen Kosmologie hat sich in diesem Zusammenhang die Bezeichnung „dunkle Energie“ durchgesetzt.

Die Feldgleichungen geben an, wie der Materie- und Energieinhalt sich auf die Krümmung der Raumzeit auswirkt. Sie enthalten jedoch auch alle Informationen über die Auswirkung der Raumzeitkrümmung auf die Dynamik von Teilchen und Feldern, also über die andere Richtung der Wechselwirkung. Dennoch verwendet man nicht direkt die Feldgleichungen, um die Dynamik von Teilchen oder Feldern zu beschreiben, sondern leitet dazu die Bewegungsgleichungen her. Die Bewegungsgleichungen sind also „technisch“ von Bedeutung, obwohl ihr Informationsinhalt konzeptionell bereits in den Feldgleichungen enthalten ist.

Eine besonders elegante Herleitung der einsteinschen Feldgleichung bietet das Prinzip der kleinsten Wirkung, das auch in der newtonschen Mechanik eine wichtige Rolle spielt. Eine geeignete Formel für die Wirkung, deren Variation im Rahmen der Variationsrechnung dabei zu diesen Feldgleichungen führt, ist die Einstein-Hilbert-Wirkung, welche erstmals von David Hilbert angegeben wurde.

Bewegungsgleichungen

Um die Bewegungsgleichungen formulieren zu können, muss eine beliebige Weltlinie eines Körpers parametrisiert werden. Das kann geschehen, indem ein Nullpunkt und eine positive Richtung festgelegt werden, und dann jedem Punkt auf der Weltlinie die Bogenlänge vom Nullpunkt bis zu diesem Punkt mit dem entsprechenden Vorzeichen zugeordnet wird. So stellt man sicher, dass jeder Punkt auf der Weltlinie eindeutig bestimmt ist. Eine sehr ähnliche Parametrisierung ist die Parametrisierung nach der Eigenzeit. Die beiden sind identisch, wenn man die Gleichungen durch Ignorieren aller c vereinfacht, indem man also formal die Lichtgeschwindigkeit c = 1 setzt. Die folgenden Formeln sind in Bogenlängenparametrisierung zu verstehen.

Im Folgenden bezeichnet der Begriff „Kraft“ nie die Gravitation, sondern zum Beispiel elektromagnetische oder mechanische Kräfte, da die Gravitation als geometrischer Effekt aufgefasst wird. Betrachtet man nun einen Körper, auf den eine Kraft $K^{\mu}\$ wirkt, so lauten die Bewegungsgleichungen

$m \ddot{x}^{\mu} + m \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = K^{\mu}$

Für den Fall, dass auf einen Körper keine Kraft wirkt, wird seine Weltlinie durch die Geodätengleichungen der gekrümmten Raumzeit beschrieben. Man erhält sie, indem man im obigen Kraftgesetz die Kraft $K^{\mu}\ = 0$ setzt

$\ddot{x}^{\mu} + \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = 0$

Dabei ist m die Masse des Körpers und $\left(x^\mu \right) = (x^0,\, x^1,\, x^2,\, x^3)$ sind die vier Raumzeit-Komponenten der Weltlinie des Körpers; x⁰ steht für die Zeit-Komponente. Punkte über den Größen sind Ableitungen nach der Bogenlänge und nicht nach der Zeitkomponente x⁰. $\textstyle \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} = \frac{g^{\mu \rho}}{2} \left( \partial_{\lambda} g_{\nu\rho} + \partial_{\nu} g_{\lambda\rho} - \partial_{\rho} g_{\lambda\nu} \right)$ ist ein Christoffelsymbol, das die Abhängigkeit des metrischen Tensors vom Raumzeitpunkt, also die Raumzeitkrümmung, charakterisiert. Die g^μρ sind Komponenten des kometrischen Tensors, der invers zum metrischen Tensor g_νρ ist.

In der Formel werden außerdem Kurzschreibweisen verwendet: Für die Differentiale $\textstyle \partial_{\mu} : = \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}$, sowie die Summenkonvention, die besagt, dass über Indizes, die jeweils einmal oben und einmal unten stehend auftauchen, automatisch von 0 bis 3 summiert wird.

Das Kraftgesetz ist eine Verallgemeinerung des klassischen Aktionsprinzips ($\vec{K} = m \ddot{\vec{x}}$) auf vier Dimensionen einer gekrümmten Raumzeit. Die Gleichungen lassen sich erst lösen, wenn der metrische Tensor bekannt ist.

Prinzipiell können nun die Bewegungsgleichungen für eine Teilchenwolke und die einsteinschen Feldgleichungen als Gleichungssystem betrachtet werden, das die Dynamik einer Wolke von massiven Teilchen beschreibt. Aufgrund der oben erwähnten Schwierigkeiten bei der Lösung der Feldgleichungen ist dies jedoch praktisch nicht durchführbar, so dass für Mehrteilchensysteme immer mit Näherungen gerechnet wird.

Die Kräfte, die auf einen Körper wirken, berechnen sich dabei im Allgemeinen etwas anders als in der speziellen Relativitätstheorie. Da die Formeln in der ART koordinatenkovariant geschrieben werden müssen, ist in den Formeln für die Kräfte, zum Beispiel in den Maxwell-Gleichungen, anstelle der partiellen Ableitung nach Raumzeitkomponenten nun die kovariante Ableitung zu verwenden. Da die Ableitungen nach Raumzeitkomponenten die Änderungen einer Größe beschreiben, heißt das, dass die Änderungen aller Felder (also ortsabhängige Größen) nun in der gekrümmten Raumzeit beschrieben werden müssen. Die Maxwellgleichungen ergeben sich damit zu

$D_{\mu} F^{\mu\nu} = 4 \pi J^{\nu} \qquad \qquad D_{\mu}F_{\nu\rho} + D_{\nu}F_{\rho\mu} + D_{\rho}F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}F_{\nu\rho} + \partial_{\nu}F_{\rho\mu} + \partial_{\rho}F_{\mu\nu} = 0$

Die Verwendung der kovarianten Ableitungen $D_{\mu}\$ betrifft also nur die inhomogenen Maxwellgleichungen, während die homogenen Gleichungen sich gegenüber der klassischen Form nicht ändern. Die Definitionen der kovarianten Ableitungen von Tensoren sind dem Artikel Christoffelsymbole zu entnehmen.

Physikalische Effekte

→ Hauptartikel: Tests der allgemeinen Relativitätstheorie

Zur experimentellen Überprüfung der ART^[6] reicht es nicht aus, Experimente durchzuführen, mit denen man zwischen der ART und der newtonschen Mechanik entscheiden kann, da es konkurrierende Theorien zur ART gibt. Es ist daher auch nötig, experimentell zwischen der ART und anderen Gravitationstheorien zu entscheiden. Abweichungen von den Vorhersagen der ART könnten auch ein neuer Anstoß zur Entwicklung einer schlüssigen und experimentell überprüfbaren Quantentheorie der Raumzeit sein.

Die allgemeine Relativitätstheorie sagt die experimentellen Ergebnisse im Rahmen der Messgenauigkeit richtig voraus. Das Äquivalenzprinzip ist mit einer Messgenauigkeit von bis zu 10^-13 bestätigt.^[7] für andere Phänomene der ART bis zu 10^-5.^[8] Im folgenden werden einige physikalische Phänomene erklärt, deren genaue experimentelle Überprüfung bisher die ART gut bestätigt und den Spielraum für Alternativtheorien sehr verkleinert hat. Außerdem lassen die guten Übereinstimmungen von Experiment und Vorhersage erwarten, dass Quanteneffekte der Gravitation sehr klein sind, da sie als Abweichungen von den Vorhersagen der ART erkennbar sein müssten.

Gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung

Gravitative Rotverschiebung einer Lichtwelle

Die gravitative Zeitdilatation folgt bereits aus der speziellen Relativitätstheorie und dem Äquivalenzprinzip der ART. Sie wurde von Einstein 1908 vorhergesagt.^[9] Wenn man eine in einem Gravitationsfeld ruhende Uhr betrachtet, muss sie durch eine Gegenkraft in Ruhe gehalten werden, wie ein Mensch, der auf der Erdoberfläche steht. Sie wird also fortwährend beschleunigt, so dass man die Formel für die Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem aus der speziellen Relativitätstheorie benutzen kann. Dies hat zur Folge, dass der Effekt nicht symmetrisch ist, wie man es von zwei gleichförmig bewegten Bezugsystemen in der speziellen Relativitätstheorie kennt. Ein Beobachter im Weltall sieht also die Uhren auf der Erde langsamer gehen als seine eigene Uhr. Umgekehrt sieht ein Beobachter auf der Erde Uhren im Weltall schneller gehen als seine eigene Uhr.

Eine direkte Folge der Zeitdilatation ist die gravitative Rotverschiebung. Sie wurde von Einstein bereits 1911 vor Fertigstellung der allgemeinen Relativitätstheorie vorausgesagt. Da beide Effekte bereits aus dem Äquivalenzprinzip hergeleitet werden können, ist ihre experimentelle Bestätigung für sich genommen keine Bestätigung für die Gültigkeit der ART. Würde jedoch ein von der Vorhersage abweichendes Verhalten beobachtet, würde dies die ART widerlegen, so dass die experimentelle Bestätigung der Effekte notwendig für die Gültigkeit der Theorie ist.

Licht, das von einer Lichtquelle mit einer gegebenen Frequenz nach oben (also vom Gravitationszentrum weg) ausgestrahlt wird, wird dort mit einer geringeren Frequenz gemessen, ähnlich wie beim Doppler-Effekt. Das bedeutet also insbesondere, dass bei einem Lichtsignal mit einer bestimmten Anzahl von Schwingungen der zeitliche Abstand zwischen dem Beginn und dem Ende des Signals beim Empfänger größer ist als beim Sender. Dies wird durch die gravitative Zeitdilatation verständlich.

Aufgrund der gravitativen Zeitdilatation ist das Zeitintervall zwischen Anfang und Ende der Lichtwelle umso länger, je weiter nach oben man sich im Gravitationsfeld bewegt, weil die Zeit zunehmend schneller verstreicht. Das bedeutet, dass die Welle bei ihrer Bewegung nach oben immer länger gemessen wird. Daher muss auch der Abstand zwischen den einzelnen Wellenbergen immer mehr wachsen, so dass das Licht also immer langwelliger, also energieärmer erscheint.

Lichtablenkung und Lichtverzögerung

→ Hauptartikel: Gravitationslinse und Shapiro-Verzögerung

Simulation der Ablenkung des Lichts eines Sterns (rot) im Gravitationsfeld eines Neutronensterns (blau).

Licht nahe einer großen Masse bewegt sich aus Sicht eines entfernten Beobachters langsamer als mit Vakuumlichtgeschwindigkeit. Dieses Phänomen wird nach seinem Entdecker als Shapiro-Verzögerung bezeichnet. Außerdem nimmt ein entfernter Beobachter eine Ablenkung des Lichts nahe großer Massen wahr. Diese beiden Effekte gehen auf dieselbe Erklärung zurück. Die reale Zeit, die so genannte Eigenzeit, nahe der Masse ist verschieden vom Zeitbegriff des entfernten Beobachters. Außerdem hat die Masse auch Auswirkungen auf das Verhalten des Raums, ähnlich einer Lorentzkontraktion, was sich nur im Rahmen der ART und nicht klassisch erklären lässt. Diese beiden Effekte sind für kleine Massen etwa gleich groß und addieren sich. Ein Beobachter, der sich selbst nahe der Masse befindet, wird dementsprechend die Vakuumlichtgeschwindigkeit als Geschwindigkeit des Lichtstrahls messen. Der entfernte Beobachter nimmt jedoch eine verringerte Geschwindigkeit wahr, die er als ortsabhängigen Brechungsindex beschreiben kann. Diese Beschreibung liefert auch eine Erklärung für die Lichtablenkung, die als eine Art Brechung interpretiert werden kann.

Die obige Erklärung beruht auf einer Analogie. Die abstrakte Interpretation im Rahmen der ART ist, dass die Nullgeodäten, auf denen sich Licht bewegt, nahe großen Massen im Raum gekrümmt erscheinen. Es ist dabei zu berücksichtigen, dass das Licht sich auch in der Zeit bewegt, so dass hier tatsächlich eine Raumzeitkrümmung und keine reine Krümmung des dreidimensionalen Raumes vorliegt.

Der von Einstein berechnete Ablenkwinkel ist von der Masse M der Sonne, dem Abstand r vom sonnennächsten Punkt der Bahn zum Mittelpunkt der Sonne und Lichtgeschwindigkeit c abhängig. Er kann nach der Gleichung

${\rm Ablenkwinkel} = \frac {4G\,M}{r c^2}$

berechnet werden. Darin ist G die Newtonsche Gravitationskonstante.

Auf Ablenkung von Licht im Gravitationsfeld beruht auch der in der Astronomie beobachtete Gravitationslinseneffekt.

Periheldrehung

→ Hauptartikel: Apsidendrehung

Die Periheldrehung der Bahn eines Planeten. Die Exzentrizität der Bahn und der Betrag der Drehung sind gegenüber der realen Periheldrehung des Merkur schematisch übertrieben.

Von der Relativitätstheorie wird auch die Periheldrehung der Bahnen von Planeten um die Sonnen vorausgesagt. Bereits 1854 wurde durch Urbain-Jean-Joseph Le Verrier erkannt, dass die Bahn des Merkur eine Periheldrehung von etwa 0,1 Bogensekunden pro Umlauf aufweist, was nicht allein auf die Störung durch andere Planeten zurückzuführen ist. Der fehlende Anteil der Periheldrehung konnte durch die Relativitätstheorie erklärt werden, was ein erster Erfolg für diese Theorie war. Auch die gemessenen Fehlbeiträge zur Periheldrehung anderer Planeten sowie auch des Kleinplaneten Icarus stimmen mit theoretischen Berechnungen gemäß der Relativitätstheorie überein. Die sich in der Planung befindende europäisch-japanische Merkursonde BepiColombo soll es ermöglichen, die Bewegung des Merkur mit bisher unerreichter Genauigkeit zu bestimmen und damit Einsteins Theorie noch genauer zu testen.

Bei Doppelsternsystemen aus Sternen oder Pulsaren, die sich in sehr geringer Entfernung umkreisen, ist die Periheldrehung mit mehreren Grad pro Jahr deutlich größer als bei den Planeten des Sonnensystems. Auch die bei diesen Sternsystemen indirekt gemessenen Werte der Periheldrehung stimmen mit den Vorhersagen der ART überein.

Gravitationswellen

→ Hauptartikel: Gravitationswelle

Ein Ring von Testpartikeln unter dem Einfluss einer Gravitationswelle

Zweidimensionale Darstellung von Gravitationswellen, die von zwei einander umkreisenden Neutronensternen ausgesandt werden.

Die ART ermöglicht die Beschreibung von Fluktuationen der Raumzeitkrümmung, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. In erster Näherung sind diese Fluktuationen mit transversalen Wellen vergleichbar, daher werden sie als Gravitationswellen bezeichnet. Eine Beschreibung dieses Phänomens ohne Näherungen existiert bisher (2007) nicht. Gravitationswellen wären dadurch beobachtbar, dass sich quer (transversal) zu ihrer Ausbreitungsrichtung der Raum periodisch ausdehnt und zusammenzieht. Da es bei der Gravitation keine positive und negative Ladung wie beim Elektromagnetismus gibt, können Gravitationswellen nicht als Dipolstrahlung, sondern nur als Quadrupolstrahlung auftreten. Außerdem ist die Kopplung der Gravitation an Materie sehr viel schwächer als beim Elektromagnetismus.

Daraus folgt eine sehr geringe Intensität der Gravitationswellen, was den Nachweis sehr erschwert. Das erwartete Verhältnis von Längenveränderung zur betrachteten Strecke liegt in der Größenordnung von 10^-21, das entspricht etwa einem Tausendstel Protondurchmesser pro Kilometer. Aufgrund dieser Schwierigkeiten ist noch kein direkter Nachweis von Gravitationswellen gelungen.

Es gibt jedoch einen indirekten Nachweis von Gravitationswellen, denn bei einander umkreisenden Sternen führen die Gravitationswellen zu einem Energieverlust des Sternensystems. Dieser Energieverlust äußert sich in einer Abnahme der Rotationsgeschwindigkeit, die zum Beispiel am Doppelsternsystem PSR 1913+16 beobachtet wurde.^[10]

Schwarze Löcher

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Die ART sagt voraus, dass ein äußerst kompakter Körper die Raumzeit so stark krümmt, dass sich eine Raumregion bildet, aus der kein Licht und damit auch keine Materie mehr entkommen kann. Ein solches Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet und wurde erstmals durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben. Die Oberfläche, bei deren Überschreiten ein Lichtstrahl nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Da ein schwarzes Loch kein Licht aussenden oder reflektieren kann, ist es unsichtbar und kann nur indirekt über die Effekte der enormen Raumzeitkrümmung beobachtet werden.

Die Existenz von schwarzen Löchern gilt inzwischen als empirisch gesichert, obwohl es keine direkten Beobachtungen solcher Objekte gibt. So wird inzwischen angenommen, dass sich in den Zentren der meisten Galaxien supermassive schwarze Löcher befinden. Die Beobachtung so genannter Materie-Jets in Galaxien sowie die Messung der Umlaufzeiten zentrumsnaher Sterne sind klare Hinweise auf solche schwarze Löcher.

Lense-Thirring-Effekt

→ Hauptartikel: Lense-Thirring-Effekt

Im Jahr 1918 wurde von dem Mathematiker Josef Lense und dem Physiker Hans Thirring der nach ihnen benannte Lense-Thirring-Effekt (auch Frame-Dragging-Effekt) theoretisch vorhergesagt. Der Effekt beschreibt die Beeinflussung des lokalen Inertialsystems durch eine rotierende Masse, was man sich vereinfacht so vorstellen kann, dass die rotierende Masse die Raumzeit um sich herum wie eine zähe Flüssigkeit geringfügig mitzieht und dadurch verdrillt.

Derzeit wird noch diskutiert, ob den Wissenschaftlern um Ignazio Ciufolini von der Universität Lecce und Erricos Pavlis von der University of Maryland in Baltimore im Jahr 2003 der experimentelle Nachweis des Effektes gelungen ist. Sie vermaßen dafür die Bahnen der geodätischen Satelliten LAGEOS 1 und 2 präzise, da deren Position und Lage von der Masse der sich drehenden Erde beeinflusst werden sollte. Aufgrund möglicher Fehlerquellen durch das uneinheitliche Schwerefeld der Erde ist umstritten, ob die zentimetergenauen Positionsbestimmungen der LAGEOS-Satelliten ausreichten, um diesen relativistischen Effekt nachzuweisen.

Der NASA-Satellit Gravity Probe B, gestartet im April 2004, ist mit mehreren präzisen Gyroskopen ausgestattet, welche den Effekt sehr viel genauer vermessen können. Zur Messung des Effektes werden bei diesem Satellit die Änderungen der Drehrichtungen von vier Gyroskopen bestimmt.

Kosmologie

→ Hauptartikel: Kosmologie

Die Kosmologie ist ein Teilgebiet der Astrophysik, das sich mit dem Ursprung und der Entwicklung des Universums befasst. Da die Entwicklung des Universums maßgeblich durch die Gravitation bestimmt ist, ist die Kosmologie eines der Hauptanwendungsgebiete der ART. Im Standardmodell der Kosmologie wird das Universum als homogen und isotrop angenommen. Mit Hilfe dieser Symmetrien vereinfachen sich die Feldgleichungen der ART zu den Friedmann-Gleichungen. Die Lösung dieser Gleichungen für ein Universum mit Materie implizieren eine Phase der Expansion des Universums. Dabei ist das Vorzeichen der Skalarkrümmung auf kosmischer Skala entscheidend für die Entwicklung eines expandierenden Universums.

Bei einer positiven Skalarkrümmung wird das Universum zunächst expandieren und sich dann wieder zusammenziehen, bei verschwindender Skalarkrümmung wird die Expansionsgeschwindigkeit einen festen Wert annehmen, und bei negativer Skalarkrümmung wird das Universum beschleunigt expandieren.

Einstein fügte 1917 die kosmologische Konstante Λ in die Feldgleichungen ein, um ein Modell eines statischen Kosmos zu ermöglichen. Die kosmologische Konstante kann je nach Vorzeichen die kosmische Expansion verstärken oder ihr entgegenwirken.

Astronomische Beobachtungen haben inzwischen das relativistische Weltmodell erheblich verfeinert und genaue quantitative Messungen der Eigenschaften des Universums gebracht. Beobachtungen entfernter Supernovae vom Typ 1a haben ergeben, dass das Universum beschleunigt expandiert. Messungen der räumlichen Struktur der Hintergrundstrahlung mit WMAP zeigen, dass die Skalarkrümmung innerhalb der Fehlergrenzen verschwindet. Diese und weitere Beobachtungen führen zu einer positiven, von null verschiedenen, kosmologischen Konstante. Die derzeitigen Erkenntnisse über die Struktur des Universums werden im Lambda-CDM-Modell zusammengefasst.

Verhältnis zu anderen Theorien

Klassische Physik

Die ART muss für langsam bewegte und nicht zu große Massen das newtonsche Gravitationsgesetz als Grenzfall enthalten. Dieses ist nämlich für langsam bewegte und nicht zu große Massen gut bestätigt. Große Massen bewirken dagegen große Gravitationsbeschleunigungen an ihrer Oberfläche, die zu relativistischen Effekten wie Zeitdilatation und Lorentzkontraktion führen. Daher muss für diese das newtonsche Gravitationsgesetz nicht gelten.

Auf der anderen Seite muss auch die spezielle Relativitätstheorie in Raumzeitgebieten, in denen die Gravitation vernachlässigbar ist, in der ART enthalten sein. Das bedeutet, dass für den Grenzfall einer verschwindenden Gravitationskonstante G die spezielle Relativitätstheorie reproduziert werden muss. In der Nähe von Massen gilt sie nur noch in differentiell kleinen Raumgebieten bei kleinen Zeitintervallen.

Die Forderung, dass die Gleichungen der ART die beiden oben genannten Grenzfälle erfüllen müssen, bezeichnet man als Korrespondenzprinzip. Dieses Prinzip besagt, dass die Gleichungen veralteter Theorien, die in einem bestimmten Gültigkeitsbereich gute Ergebnisse liefern, für diesen Gültigkeitsbereich als Grenzfall in der neuen Theorie enthalten sein müssen. Einige Autoren gehen unter diesem Begriff in Bezug auf die ART nur auf einen der beiden Grenzfälle, meist bezüglich der newtonschen Gravitationstheorie, ein.

Die Bewegungsgleichungen klassischer, also nicht quantenmechanischer, Feldtheorien ändern sich gegenüber der klassischen Mechanik, wie oben beschrieben wurde. Es ist also ohne Probleme möglich, gravitative und elektromagnetische Wechselwirkung von geladenen Objekten gleichzeitig zu beschreiben.

Quantenphysik

Die ART ist bei sehr hohen Teilchenenergien im Bereich der Planck-Skala oder entsprechend bei sehr kleinen Raumzeitgebieten mit starker Krümmung nicht mit der Quantenphysik vereinbar. Obwohl es keine Beobachtung gibt, die der ART widerspricht und ihre Vorhersagen gut bestätigt sind, liegt daher nahe, dass es eine umfassendere Theorie gibt, in deren Rahmen die ART ein Spezialfall ist. Dies wäre also eine Quantenfeldtheorie der Gravitation, die eine Vereinigung der ART mit der Quantenfeldtheorie darstellt.

Die Formulierung einer Quantenfeldtheorie der Gravitation wirft jedoch Probleme auf, die mit den bisher bekannten mathematischen Methoden nicht lösbar sind. Das Problem besteht darin, dass die ART als Quantenfeldtheorie nicht renormierbar ist. Die Größen, die sich daraus berechnen lassen, sind also unendlich. Diese Unendlichkeiten können als prinzipielle Schwäche im Formalismus der Quantenfeldtheorien verstanden werden, und sie lassen sich bei anderen Theorien meist durch Renormierungsverfahren von den physikalisch sinnvollen Ergebnissen trennen. Bei der ART ist das aber nicht mit den üblichen Verfahren möglich, so dass nicht klar ist, wie man physikalisch sinnvolle Vorhersagen treffen soll.

Die aktuell (2007) am meisten diskutierten Ansätze zur Lösung dieses Problems sind die Stringtheorie und die Schleifenquantengravitation. Es existiert eine Vielzahl weiterer Modelle, die allerdings nicht so bekannt sind.

Geschichte

Verallgemeinerung des Äquivalenzprinzipes

Das klassische Äquivalenzprinzip, manchmal auch als schwaches Äquivalenzprinzip bezeichnet, geht auf Überlegungen Galileo Galileis (1636/38) und Experimente auf dem Gebiet der Kinematik zurück. Die ursprüngliche Formulierung des Äquivalenzprinzips von Galilei besagt, dass alle Körper unabhängig von ihren Eigenschaften im Vakuum dasselbe Fallverhalten aufweisen. Das heißt, zwei Körper unter Einfluss der Schwerkraft, die den gleichen Ort zu aufeinander folgenden Zeiten verlassen, verhalten sich in dem Sinne identisch, dass sie dieselbe Bahn durchlaufen, unabhängig von allen anderen Eigenschaften der Körper wie chemische Zusammensetzung, Größe, Form und Masse. Die Einschränkung auf das Vakuum ergibt sich dadurch, dass sonst Reibungseffekte und Auftriebskräfte eine Rolle spielen, die von den Eigenschaften des Gegenstands abhängig sind. Isaac Newton formulierte in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) das Äquivalenzprinzip als Gleichheit von träger Masse und schwerer Masse. Das heißt, dass im Gravitationsgesetz und im Trägheitsgesetz dieselbe Masse vorkommt.

Albert Einstein hielt das Äquivalenzprinzip, das 1900 durch Eötvös-Experiment bereits mit einer Genauigkeit von 10^-9 bestätigt war, für eine entscheidende Eigenschaft der Gravitation. Daher erweiterte Einstein das Prinzip auf nicht-mechanische Phänomene und machte es zum Ausgangspunkt seiner Gravitationstheorie.

Die Aufstellung der Feldgleichungen

Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wurden im Wesentlichen von Albert Einstein entwickelt. Er benutzte die von Carl Friedrich Gauß, Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel, Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita entwickelte Differentialgeometrie, wie er sie von Marcel Grossmann, einem befreundeten Mathematiker, lernte. Diese Differentialgeometrie verwendete er, um in der Raumzeit, mit der Hermann Minkowski die spezielle Relativitätstheorie formuliert hatte, Gravitation als Eigenschaft der Maßverhältnisse zu formulieren. Überlegungen von Ernst Mach beeinflussten Einsteins Überzeugung, dass auch bei Gravitation nur Bewegung relativ zu anderen Körpern physikalisch erheblich sei.

Die erste Veröffentlichung, die der allgemeinen Relativitätstheorie zugerechnet werden kann, ist eine 1908 veröffentlichte Arbeit Einsteins über den Einfluss von Gravitation und Beschleunigung auf das Verhalten von Licht in der speziellen Relativitätstheorie. In dieser Arbeit formuliert er bereits das Äquivalenzprinzip und sagt die gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung sowie die Lichtablenkung durch massive Körper vorher.^[9] Der Hauptteil der Theorie wurde aber erst in den Jahren von 1911 bis 1915 von Einstein erarbeitet. Den Beginn seiner Arbeit markiert dabei eine zweite Veröffentlichung zur Wirkung der Gravitation auf Licht im Jahr 1911, in der Einstein seine Veröffentlichung von 1908 aufarbeitet.^[11]

Bevor er die Arbeit abschloss, veröffentlichte Einstein 1913 einen Entwurf für die Relativitätstheorie, der bereits eine gekrümmte Raumzeit verwendete.^[12] Aufgrund von Problemen mit dem Prinzip der generellen Kovarianz, das sich letztlich doch als richtig erwies, verfolgte Einstein jedoch in der Folgezeit einen falschen Ansatz, bevor er das Problem letztlich 1915 lösen konnte. Er hielt während seiner Arbeit auch Vorträge darüber und tauschte sich mit Mathematikern, namentlich Marcel Grossmann und David Hilbert, aus.

Im Oktober 1915 veröffentlichte Einstein eine Arbeit über die Periheldrehung des Merkur,^[13] in der er noch von falschen Feldgleichungen ausging, welche mit der lokalen Erhaltung von Energie und Impuls nicht verträglich waren. Im November 1915 fand Einstein die richtigen Feldgleichungen und veröffentlichte sie mit den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften am 25. November 1915 zusammen mit der Berechnung der Periheldrehung des Merkurs und der Lichtablenkung an der Sonne. Hilbert reichte seine Arbeit fünf Tage davor der Göttinger Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zur Veröffentlichung ein. Allerdings enthalten die Korrekturfahnen von Hilberts Arbeit, anders als die später publizierte Version, nicht die Feldgleichungen^[14] – die Korrekturfahnen sind allerdings nicht vollständig erhalten.^[15] Einsteins späteren Artikel Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie kann man als ersten Übersichtsartikel der ART auffassen. Er wurde am 20. März 1916 in den Annalen der Physik veröffentlicht, zwei Monate, nachdem Einstein die von Schwarzschild stammende Lösung seiner Feldgleichungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften vorgetragen hatte.^[16]

Auf Hilbert geht das Wirkungsfunktional der ART zurück, aus dem er die Feldgleichungen in seinem 1916 veröffentlichten Artikel ableitete.^[17]

Exakte Lösungen der Feldgleichungen

Nach der Aufstellung der Feldgleichungen wurde nach Lösungen dafür unter verschiedenen Randbedingungen gesucht. Die erste exakte Lösung der Feldgleichungen ist die bereits 1916 von Karl Schwarzschild gefundene und nach ihm benannte Schwarzschild-Metrik, die zur Beschreibung von Schwarzen Löchern herangezogen wird.^[18] Sie wurde 1916 von Hans Reissner^[19] und 1918 von Gunnar Nordström^[20] zur nach ihnen benannten Reissner-Nordström-Metrik weiterentwickelt, mit der sich elektrisch geladene Schwarze Löcher beschreiben lassen.

1963 fand Roy Kerr die nach ihm benannte Kerr-Metrik mit der sich die Raumzeit nahe einem rotierenden Schwarzen Loch beschreiben lässt.^[21] Die Erweiterung auf elektrisch geladene und rotierende Schwarze Löcher ist die 1965 gefundene Kerr-Newman-Metrik.^[22]

Als Einstein erkannte, dass die Feldgleichungen kein kosmologisches Modell eines statischen Universums ermöglichen, führte er 1918 die kosmologische Konstante ein.^[1] 1922 fand Alexander Friedmann eine Lösung der Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante,^[23] welche ein expandierendes oder kontrahierendes Universum zuließ und 1927 fand Georges Lemaître eine exakte Lösung für ein expandierendes Universum.^[24] Als Edwin Hubble 1929 seine Beobachtungen zur Rotverschiebung veröffentlichte^[25] und damit einen Beleg für die Expansion des Universums erbrachte, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie George Gamow zufolge als seine „größte Eselei“. In der modernen Astronomie wird jedoch die Möglichkeit einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstante in Betracht gezogen.

Die Robertson-Walker-Metrik ist eine Weiterentwicklung von Lemaîtres Lösung, die Howard Percy Robertson 1935^[26] und Arthur Geoffrey Walker, 1936^[27] unabhängig voneinander formulierten. Auch sie ist eine exakte Lösung der Feldgleichung und beschreibt ein expandierendes, homogenes und isotropes Universum, wird also als Modell zur Beschreibung unseres Universums herangezogen. Sie ist daher in der Kosmologie von sehr großer Bedeutung.

Literatur

Populärwissenschaftlich

• Harald Fritzsch: Die verbogene Raum-Zeit. Piper, 1997, ISBN 3-492-22546-2
• Marcia Bartusiak: Einsteins Vermächtnis. Europäische Verlagsanstalt, 2005, ISBN 3-434-50529-6
• Rüdiger Vaas: Tunnel durch Raum und Zeit. 2. Auflage. Franckh-Kosmos, 2006, ISBN 3-440-09360-3

Lehrbücher

• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
• Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9
• Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York 1972, ISBN 0-471-92567-5
• Hermann Weyl: Raum, Zeit, Materie – Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie, 8. Auflage, Springer 1993, Online (1919)
• Wolfgang Rindler: Relativity: Special, General and Cosmological. 2. Auflage. Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-856732-4
• Robert M. Wald: General Relativity. University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
• Stephen W. Hawking, George F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. Eine mathematische Einfuehrung in die Relativitaetstheorie, Vieweg, 4. Auflage 2008, ISBN 978-3-8348-0468-6
• Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt: Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press, ISBN 0-521-46702-0

Geschichte der ART

• Abraham Pais: Raffiniert ist der Herrgott, Albert Einstein. Eine wissenschaftliche Biographie. (engl. Original Subtle is the Lord), ISBN 3-8274-0529-7

Weblinks

• einstein-online.info: Allgemeine Relativitätstheorie
• Die Allgemeine Relativitätstheorie als Bildergeschichte
• Tutorial von John Baez (engl.)
• Skripte zur SRT und ART
• Verwirbelte Raumzeit: Laser-Messung bestätigt Einsteins Theorie - SPIEGEL ONLINE

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Einstein sah diese selbst als Hauptgesichtspunkte der ART an: Albert Einstein: Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 55, 1918, S. 241–244 (Faksimile, PDF).
2. ↑ Erläuterung am „freien Fall“ des Elektrons
3. ↑ Sehr bekannt in diesem Zusammenhang ist die Behauptung George Gamows, Einsteins habe die kosmologische Konstante als größte Eselei seines Lebens bezeichnet. Mehr dazu im Kapitel #Exakte Lösungen der Feldgleichungen.
4. ↑ G. F. R. Ellis: Relativistic Cosmology. In: Proc. Int. School of Physics „Enrico Fermi“ Course XLVIII – General Relativity and Cosmology (Varena, 1969). Ed. R. K. Sachs, Academic Press, New York 1971. S. 104–182.
5. ↑ Nach gegenwärtigen Beobachtungen der Kosmologie scheint der das Universum beschleunigt zu expandieren, was für einen positiven Wert von Λ spricht.
6. ↑ Zusammenfassende Übersicht: Clifford M. Will: The Confrontation between General Relativity and Experiment. In: Living Rev. Relativity. 9, Nr. 3, 2006, ISSN 1433-8351 (Onlinedokument)
7. ↑ S. Baeßler, B. R. Heckel, E. G. Adelberger, J. H. Gundlach, U. Schmidt, H. E. Swanson: Improved Test of the Equivalence Principle for Gravitational Self-Energy. Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 3585–3588.
8. ↑ B. Bertotti, L. Iess, P. Tortora: A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft. Nature 425 (2003), 374–376.(pdf, abgerufen 23. Dezember 2009)
9. ↑ ^{a b} Albert Einstein: Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. In: Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik IV. 1908, S. 411–462 (Faksimile, PDF).
10. ↑ Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 3. Auflage, ISBN 3-8274-0357-X, S. 171.
11. ↑ Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. In: Annalen der Physik. 35, 1911, S. 898–908 (Faksimile, PDF).
12. ↑ Albert Einstein, Marcel Grossmann: Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. 62, 1913, S. 225–261.
13. ↑ Albert Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. 1915, S. 831–839.
14. ↑ Darauf wiesen Corry, Renn, Stachel Science Bd.278, 1997, S. 1270 hin
15. ↑ F. Winterberg: Zeitschrift für Naturforschung A. Bd. 59, 2004, S. 715, ausführlich in Daniela Wuensch „Zwei wirkliche Kerle“, Termessos Verlag, 2. Auflage 2007. Siehe auch Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. 36, Nr. 5, 2005, S. 230–235, ISSN 0031-9252
16. ↑ Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S. 769–822 (Faksimile, PDF).
17. ↑ David Hilbert: Die Grundlagen der Physik. In: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Nachrichten (1915). S. 395–407.
18. ↑ Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1, 1916, S. 189–196. (Faksimile, PDF; Transkript)
19. ↑ Hans Reissner: Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. In: Annalen der Physik. 50, 1916, S. 106–120 (Faksimile, PDF).
20. ↑ Gunnar Nordström: On the Energy of the Gravitational Field in Einstein’s Theory. In: Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 20, 1918, S. 1238–1245 (Faksimile).
21. ↑ Roy Patrick Kerr: Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. In: Physical Review Letters. 11, 1963, S. 237–238.
22. ↑ E. T. Newman; R. Couch; K. Chinnapared; A. Exton; A. Prakash; R. Torrence: Metric of a Rotating, Charged Mass. In: J. Math. Phys. 6, 1965, S. 918–919.
23. ↑ Alexander Friedmann: Über die Krümmung des Raumes. In: Zeitschrift für Physik. 10, 1922, S. 377–386.
24. ↑ Georges Lemaître: Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques. In: Annales de la Société Scientifique de Bruxelles XLVII. 1927, S. 49–59.
25. ↑ Edwin Hubble: A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 15, Nr. 3, 1929, S. 168–173 (Faksimile, PDF).
26. ↑ Howard Percy Robertson: Kinematics and World Structure. In: Astrophysical Journal. 82, 1935, S. 284–301 (Faksimile: Part I, Part II, Part III, PDF und GIF).
27. ↑ Arthur Geoffrey Walker: On Milne’s Theory of World-Structure. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 42, 1936, S. 90–127.

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