Sellmeier-Gleichung

Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex n eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge λ des sichtbaren Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte.[1][2] Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7
Koeffizient Wert
B1 1,03961212
B2 0,231792344
B3 1,01046945
C1 6,00069867·10−3 μm2
C2 2,00179144·10−2 μm2
C3 103,560653 μm2
Darstellung des Brechungsindex von Borsilikatglas (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:


n^2(\lambda) = 1 
+ \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1}
+ \frac{B_2 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_2}
+ \frac{B_3 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_3}

mit B1,2,3 und C1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B1,2,3 sind dimensionslos, und die C1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden der Form


\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_i}

erweitert werden.

Schreibt man die Summanden in der Form


\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - \lambda_i^2}
,

so lassen sich die λi als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet: Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review. In: Journal of Physics D: Applied Physics. 36, Nr. 15, 2003, S. 1850-1857, doi:10.1088/0022-3727/36/15/316.
  2. Wolfgang von Sellmeier: Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen. In: Annalen der Physik. 143, 1871, S. 272–282 (Volltext auf Gallica).

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