Backward Differentiation Formulas

Die BDF-Verfahren (englisch Backward Differentiation Formulas) sind Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen:

$y'(x) = f(x, y(x)), \quad y(x_0) = y_0, \quad y \colon \R \to \R^n$

Dabei wird für y(x) eine Näherungslösung an den Zwischenstellen x_i berechnet:

$y_i \approx y(x_i) \quad i=1\dots m$

Die Verfahren wurden 1952 von Curtiss und Hirschfelder eingeführt und sind seit dem Erscheinen der Arbeiten von Gear 1971 als Löser für steife gewöhnliche Differentialgleichungen weit verbreitet.

Beschreibung

Im Gegensatz zu Adams-Moulton-Verfahren wird bei BDF-Verfahren nicht die rechte Seite durch ein Interpolationspolynom approximiert, sondern es wird durch die letzten k Approximationen y_{n + 1 − k} an die Lösung, sowie dem unbekannten Wertes y_{n + 1} ein Interpolationspolynom gelegt. Der unbekannte Wert y_{n + 1} ergibt sich dann, indem man fordert, dass die Ableitung des Polynoms die Differentialgleichung im Punkt x_{n + 1} erfüllt:

$y'(x_{n+1})=\frac{1}{h}\sum^{k}_{j=0}\alpha_j y_{n+1-j} = f(x_{n+1}, y_{n+1}).$

Dabei ist h = x_{i + 1} − x_i die Schrittweite. Nachdem man geeignete Startwerte $y_1\dots y_{k-1}$ z.B. mittels Einschrittverfahren generiert hat erhält man die restlichen Näherungen über die Formel:

$\sum^{k}_{j=0}\alpha_j y_{n+1-j}=h \cdot f\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right).$

Die Koeffizienten α_j ergeben sich aus dem Ableiten des Interpolationspolynoms und sind bei konstanter Schrittweite h über die Newton-Cotes-Formeln explizit gegeben, hier die Koeffizienten der ersten drei Verfahren.

k	α0	α1	α2	α3
1	1	− 1
2	$\frac{3}{2}$	− 2	$\frac{1}{2}$
3	$\frac{11}{6}$	− 3	$\frac{3}{2}$	$-\frac{1}{3}$

Eigenschaften

Die BDF-Verfahren sind alle implizit, da der unbekannte Wert y_{n + 1} in die Gleichung eingeht. BDF(k) besitzt genau die Konsistenzordnung k. Das Verfahren BDF(1) ist das implizite Euler-Verfahren. Dieses und BDF(2) sind A-stabil, die Verfahren höherer Ordnung A(α)-stabil, wobei der Öffnungswinkel α sich mit höherer Ordnung verkleinert. Für k>6 sind die Verfahren instabil. Insbesondere BDF(2) ist aufgrund seiner optimalen Eigenschaften bezüglich der zweiten Dahlquist-Barriere bei der Berechnung steifer Differentialgleichungen sehr beliebt.

Literatur

• E. Hairer, Syvert P. Nørsett, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer Verlag, ISBN 3540566708
• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag, ISBN 3-540-60452-9
• H.R. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik, Teubner (2004)