Newton-Cotes-Formeln

Newton-Cotes-Formel für n = 2

Eine Newton-Cotes-Formel (nach Isaac Newton und Roger Cotes) ist eine numerische Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die Stützstellen der Interpolation werden dabei äquidistant gewählt.

Herleitung

Für das zu integrierende Interpolationspolynom p_n(x) vom Grad n werden die Stützstellen

$a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b$

äquidistant mit dem konstanten Abstand h = x_{i + 1} − x_i so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte $\tfrac{a+b}{2}$ des Integrationsintervalls [a,b] liegen. Somit gilt $x_{n-i}=\tfrac{a+b}{2}-x_i$.

Mit x₀ = a (und somit x_n = b) erhält man n Intervalle der Länge h und somit $h=\tfrac{b-a}{n}$ und $x_i=a+i\cdot h$. Diese Formeln werden abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln genannt.

Mit $x_0\ne a$ (und somit $x_n\ne b$) erhält man offene Quadratur-Formeln:

• Wählt man x₀ = a + h (und somit x_n = b − h), erhält man n + 2 Intervalle der Länge h und somit $h=\tfrac{b-a}{n+2}$ und $x_i=a+(1+i)\cdot h$. Diese Formeln werden offene Newton-Cotes-Formeln genannt.

• Wählt man $x_0=a+\tfrac{h}{2}$ (und somit $x_n=b-\tfrac{h}{2}$), erhält man n + 1 Intervalle der Länge h und somit $h=\tfrac{b-a}{n+1}$ und $x_i=a+(\tfrac{1}{2}+i)\cdot h$. Diese Formeln werden Maclaurin-Formeln genannt.

Zur numerischen Integration von $\int_a^b f(x) dx$ nehmen wir das Interpolationspolynom p_n(x) der Funktion f(x) zu den gegebenen Stützstellen. Für dieses gilt

$p_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) L_{in}(x),$

wobei L_in die Lagrange-Polynome sind. Daraus folgt

$\int_a^b p_n(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n f(x_i) \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx.$

Definition

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b p_n(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)$

mit den Gewichten

$w_i = \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx$

Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt w_{n − i} = w_i.

$L_{in}(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)} {(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}.$

Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren die Quadraturformeln bei ungeradem n Polynome bis zum Grad n, bei geradem n sogar bis zum Grad n+1 exakt. Somit sind Quadraturformeln mit geradem n (also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem n vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch den Genauigkeitsgrad der Quadraturformel.

Speziell gilt für f(x) = 1, dass $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b 1 dx = b-a= (b-a) \sum_{i=0}^n w_i\cdot 1=(b-a)\sum_{i=0}^n w_i$ und somit

$\sum_{i=0}^n w_i=1.$

Falls $\sum_{i=0}^n |w_i|>\sum_{i=0}^n w_i=1$, was bei negativen Gewichten der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes n das Interpolationspolynom p_n(x) unbrauchbar ist, sind ebenso Quadraturformeln mit großem n nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von zusammengesetzten Quadraturformeln.

$E(f) = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b p_n(x) dx$

ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Quadraturformel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen immer die Form

$E(f)=K\cdot f^{(p+1)}(\xi)$.

wobei K eine von f(x) unabhängige Konstante, p der Genauigkeitsgrad und $\xi\in[a,b]$ ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man E(f) und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass man die meisten Integrale nicht exakt berechnen kann.

Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält man die Fehlerabschätzung:

$|E(f)|\le |K|\cdot \max_{a\le \xi \le b}|f^{(p+1)}(\xi)|$.

Der exakte Fehler ist immer kleiner/gleich als diese Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln

Die angegebenen Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: $t_0=0,t_i=\frac{i}{n},t_n=1.$ Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot(b-a).$

n	Name	Stützstellen ti	Gewichte wi	E(f)
1	Trapezregel Sehnentrapezregel	$0 \quad 1$	$\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$	$-\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi)$
2	Simpsonregel Keplersche Fassregel	$0 \quad \frac{1}{2} \quad 1$	$\frac{1}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{1}{6}$	$-\frac{(\frac{b-a}{2})^5}{90} f^{(4)}(\xi)$
3	3/8 - Regel Pulcherrima	$0 \quad \frac{1}{3} \quad \frac{2}{3} \quad 1$	$\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8}$	$-\frac{3(\frac{b-a}{3})^5}{80} f^{(4)}(\xi)$
4	Milne-Regel Boole-Regel	$0 \quad \frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4} \quad 1$	$\frac{7}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{12}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{7}{90}$	$-\frac{8(\frac{b-a}{4})^7}{945} f^{(6)}(\xi)$
5	6-Punkt-Regel	$0 \quad \frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5} \quad 1$	$\frac{19}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{19}{288}$	$-\frac{275(\frac{b-a}{5})^7}{12096} f^{(6)}(\xi)$
6	Weddle-Regel	$0 \quad \frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6} \quad 1$	$\frac{41}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{272}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{41}{840}$	$-\frac{9(\frac{b-a}{6})^9}{1400} f^{(8)}(\xi)$

Für n = 8 gilt w_i < 0 für i = 2,4,6 und $\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=1.45...$. Für n = 10 gilt $\sum_{i=0}^n |w_i|=3.064709...$

Beispiel: $\int_1^3 \frac{1}{x} dx = ln(3)-ln(1) = ln(3) = 1.0986123...$

Näherung mit Simpson-Regel (n = 2). Es gilt $h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{2}=1$ und x₀ = a = 1.

$\int_1^3 p_2(x) dx = 2\cdot\bigg(\frac{1}{6}f(1)+\frac{4}{6}f(2)+\frac{1}{6}f(3)\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{1}{6}\cdot1+\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}\bigg)=\frac{10}{9}=1.\overline {1}.$

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}$ erhält man $E(f)=-\frac{1}{90\cdot2^5}\cdot\frac{4!}{\xi^5}=-\frac{1}{120}\cdot\frac{1}{\xi^5}$ mit $\xi \in [1,3].$

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{1}{120}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}|\frac{1}{\xi^5}|=\frac{1}{120}=0.008\overline{3}.$

Exakter Fehler: $|E(f)|=|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x) dx|=|1.0986123... - 1.\overline {1}|=0.00124988...<0.008\overline{3}.$

Offene Newton-Cotes-Formeln

Die Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: $t_0=\tfrac{1}{n+2},t_i=\tfrac{i+1}{n+2},t_n=\tfrac{n+1}{n+2}.$ Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot(b-a).$

n	Name	Stützstellen xi	Gewichte wi	Fehlerschranke
0	Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel	$\frac{1}{2}$	$1 \quad$	$\frac{(b-a)^{3}}{24} f^{''}(\xi)$
1		$\frac{1}{3} \quad \frac{2}{3}$	$\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$	$\frac{(\frac{b-a}{3})^3}{4} f^{''}(\xi)$
2		$\frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4}$	$\frac{2}{3} \quad -\frac{1}{3} \quad \frac{2}{3}$	$\frac{14(\frac{b-a}{4})^5}{45} f^{(4)}(\xi)$
3		$\frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5}$	$\frac{11}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{11}{24}$	$\frac{95(\frac{b-a}{5})^5}{144} f^{(4)}(\xi)$
4		$\frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6}$	$\frac{11}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{26}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{11}{20}$	$\frac{41(\frac{b-a}{6})^7}{140} f^{(6)}(\xi)$
5		$\frac{1}{7} \quad \frac{2}{7} \quad \frac{3}{7} \quad \frac{4}{7} \quad \frac{6}{7}$	$\frac{611}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad\frac{611}{1440}$	$\frac{5257(\frac{b-a}{7})^7}{8640} f^{(6)}(\xi)$
6		$\frac{1}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{4}{8} \quad \frac{6}{8} \quad \frac{7}{8}$	$\frac{460}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{2459}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{460}{945}$	$\frac{3956(\frac{b-a}{8})^9}{14175} f^{(8)}(\xi)$

Für n = 5 gilt $\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{3252}{1440}=2.258333..$. Für n = 6 gilt $\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{9679}{945}=10.24...$

Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für n = 1 hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.

Beispiel: $\int_1^3 \frac{1}{x} dx = ln(3)-ln(1) = ln(3) = 1.0986123...$.

Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt $h=\frac{b-a}{n+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ und $x_0=a+h=\frac{3}{2}.$

$\int_1^2 p_2(x) dx = 2\cdot\bigg(\frac{2}{3}f(\frac{3}{2})-\frac{1}{3}f(\frac{4}{2})+\frac{2}{3}f(\frac{5}{2}\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5})\bigg)=\frac{49}{45}=1.0\overline{8}.$

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}$ erhält man $E(f)=\frac{14}{45\cdot2^5}\cdot\frac{4!}{\xi^5}=\frac{7}{30}\cdot\frac{1}{\xi^5}$ mit $\xi \in [1,3].$

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{7}{30}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}|\frac{1}{\xi^5}|=\frac{7}{30}=0.2\overline{3} .$

Exakter Fehler: $|E(f)|=|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x) dx|=|1.0986123... - 1.0\overline{8}|=0.0097344...<0.2\overline{3}.$

Maclaurin-Quadraturformeln

Die Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: $t_0=\tfrac{1}{2n+2},t_i=\tfrac{2i+1}{2n+2},t_n=\tfrac{2n+1}{2n+2}.$ Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot(b-a).$

n	Name	Stützstellen xi	Gewichte wi	Fehlerschranke
0	Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel	$\frac{1}{2}$	$1 \quad$	$\frac{(b-a)^{3}}{24} f^{''}(\xi)$
1		$\frac{1}{4} \quad \frac{3}{4}$	$\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$	$\frac{(\frac{b-a}{2})^3}{12} f^{''}(\xi)$
2		$\frac{1}{6} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{5}{6}$	$\frac{3}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8}$	$\frac{21(\frac{b-a}{3})^5}{640} f^{(4)}(\xi)$
3		$\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{5}{8} \quad \frac{7}{8}$	$\frac{13}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{13}{48}$	$\frac{103(\frac{b-a}{4})^5}{1440} f^{(4)}(\xi)$
4		$\frac{1}{10} \quad \frac{3}{10} \quad \frac{5}{10} \quad \frac{7}{10} \quad \frac{9}{10}$	$\frac{275}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{402}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{275}{1152}$	$\frac{5575(\frac{b-a}{5})^7}{193536} f^{(6)}(\xi)$

Für n = 6 gilt $\sum_{i=0}^n |w_i|=1.363..$. Für n = 8 gilt $\sum_{i=0}^n |w_i|=3.433...$

Beispiel: $\int_1^3 \frac{1}{x} dx = ln(3)-ln(1) = ln(3) = 1.0986123...$.

Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt $h=\frac{b-a}{n+1}=\frac{2}{3}$ und $x_0=a+\frac{h}{2}=\frac{4}{3}.$

$\int_1^3 p_2(x) dx = 2\cdot\bigg(\frac{3}{8}f(\frac{4}{3})+\frac{2}{8}f(\frac{6}{3})+\frac{3}{8}f(\frac{8}{3})\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{4}+\frac{2}{8}\cdot\frac{3}{6}+\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}\bigg)=\frac{105}{96}=1.09375.$

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}$ erhält man $E(f)=\frac{21}{640\cdot3^5}\cdot\frac{4!}{\xi^5}=\frac{7}{2160}\cdot\frac{1}{\xi^5}$ mit $\xi \in [1,3].$

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{7}{2160}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}|\frac{1}{\xi^5}|=\frac{7}{2160}=0.0032\overline{407}.$

Exakter Fehler: $|E(f)|=|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x) dx|=|1.0986123...- 1.09375|=0.000486229...<0.0032\overline{407}.$

Summierte Newton-Cotes-Formeln

Ab Grad 8 treten bei vielen Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf, was die Gefahr der Auslöschung mit sich bringt. Außerdem kann man im Allgemeinen keine Konvergenz erwarten, da die Polynominterpolation schlecht konditioniert ist. Bei größeren Integrationsbereichen [a,b] unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an.

Literatur

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311-316.
• Roland W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, S. 164-169.
• Michael R. Schäferkotter, Prem K. Kythe: Handbook of Computational Methods for Integration. Chapman & Hall, Boca Raton 2005, ISBN 1-58488-428-2, S. 54-62, 503-505.
• Günter Bärwolf: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker. ISBN 978-3-8274-1689-6, Spektrum, München 2007, S. 128.
• Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen : Verfahren, Beispiele, Anwendungen. ISBN 978-3-642-13472-2, Springer, Berlin und Heidelberg 2011.