Sieb des Eratosthenes

Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus zur Bestimmung einer Liste oder Tabelle aller Primzahlen kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl. Er ist nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene benannt. Allerdings hat Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, das Verfahren nicht entdeckt, sondern nur die Bezeichnung „Sieb“ für das schon lange vor seiner Zeit bekannte Verfahren eingeführt.

Basisverfahren: Es werden alle Vielfachen einer Primzahl markiert, die größer oder gleich deren Quadrat sind.

Funktionsweise

Zunächst werden alle Zahlen 2, 3, 4,… bis zu einem frei wählbaren Maximalwert S aufgeschrieben. Die zunächst unmarkierten Zahlen sind potentielle Primzahlen. Die kleinste unmarkierte Zahl ist immer eine Primzahl. Nachdem eine Primzahl gefunden wurde, werden alle Vielfachen dieser Primzahl als zusammengesetzt markiert. Es genügt dabei, mit dem Quadrat der Primzahl zu beginnen, da alle kleineren Vielfachen bereits markiert sind. Sobald das Quadrat der Primzahl größer als die Schranke S ist, sind alle Primzahlen kleiner oder gleich S bestimmt: Es sind die nicht markierten Zahlen.

Das Verfahren beginnt also damit, die Vielfachen 4, 6, 8,… der kleinsten Primzahl 2 durchzustreichen. Die nächste unmarkierte Zahl ist die nächstgrößere Primzahl, die 3. Anschließend werden deren Vielfache 9, 12, 15,… durchgestrichen, usw.

Das Sieb funktioniert auch (nur etwas langsamer), wenn immer alle Vielfachen (und nicht erst die ab der Quadratzahl) markiert werden. In dieser Form ist es bereits für Lernende der 6. Klasse verständlich. In der Regel wird in dieser Altersstufe auch noch ein Stück über $\sqrt{S}$ hinaus gearbeitet, bis sich die Erkenntnis aufdrängt, dass nun „nichts mehr passiert“ (außer dass die Primzahlen noch ausgegeben werden müssen).

Demonstration

Verfahren, wie die Primzahlen zwischen 2 und 120 ermittelt werden: Erst werden alle Vielfachen von 2 gestrichen, dann alle Vielfachen von 3, 5, und 7. Die Markierungen beginnen jeweils mit dem Quadrat der Primzahl: 4, 9, 25, 49. Da bereits 11² = 121 nicht mehr im Wertebereich liegt, werden ab 11 keine zusammengesetzten Zahlen mehr markiert; alle noch unmarkierten Zahlen sind prim.

Implementierung

Eine beispielhafte Implementierung des Algorithmus als Pseudocode:

const N = 10000
var gestrichen: array [2..N] of boolean

// Initialisierung des Primzahlfeldes
// Alle Zahlen im Feld sind zu Beginn nicht gestrichen
for i = 2 to N do
    gestrichen[i] = false
end

for i = 2 to N do
    if not gestrichen[i] then
        // i ist prim, gib i aus
        print i; ", ";
        // und streiche seine Vielfachen, beginnend mit i*i
        // (denn k*i mit k<i wurde schon als Vielfaches von k gestrichen)
        for j = i*i to N step i do
            gestrichen[j] = true
        end
    endif
end

Optimiertes Verfahren: Es werden nur die bisher nicht markierten Vielfachen einer Primzahl markiert

Das Verfahren lässt sich optimieren, wenn nur die ungeraden Zahlen darin abgespeichert werden. Es gibt zwar bessere Verfahren als das Sieb des Eratosthenes (z. B. das Sieb von Atkin), das hier erwähnte ist allerdings immer noch optimal, wenn größere Zahlenbereiche nach Primzahlen abgesucht werden sollen.

Literatur

• Hans Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel. Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst vor der Mathematik haben. Hanser, München u. a. 1997, ISBN 3-446-18900-9.
• Kristin Dahl, Sven Nordqvist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Mathe für jeden. Oetinger, Hamburg 2007, ISBN 978-3-7891-7602-9.

Weblinks

•  Wikibooks: Quellcode des Algorithmus in verschiedenen Programmiersprachen – Lern- und Lehrmaterialien
• http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de/~algorithmus/algo25.php Ausführliche Erläuterung mit Animation (Java Applet)
• http://www.hbmeyer.de/eratosib.htm Interaktive Animation (erfordert JavaScript)
• Sieb des Eratosthenes – mit der Streichliste