Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei $\ (G, \cdot)$ eine Gruppe und $\circ: G \times M \rightarrow M$ eine Operation von G auf M. Dann ist für jedes $x\in M$ die Abbildung

$G/G_x \rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_x \mapsto g \circ x$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

• $G \circ x := \{m \in M\ |\ \exists g \in G$ mit $m = g \circ x\} \subseteq M$ die Bahn von x,
• $G_x := \{g \in G\ |\ g \circ x = x \} \leq G$ die Stabilisatoruntergruppe von x und
• $G/G_x := \{A \in \mathcal{P}(G)\ |\ \exists g \in G$ mit $\ A = g\cdot G_x\} \subseteq \mathcal{P}(G)$ die Menge der (Links-)Nebenklassen von G_x in G.

Beweis

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall $|G \circ x| < \infty$ ist $(G:G_x) = |G \circ x|$. Dabei bezeichnet $\ (G:G_x) := |G/G_x|$ den Index von G_x in G. Für endliche Gruppen G gilt daher die Bahnformel

$\ |G|=|G \circ x|\cdot|G_x|$.

Beispiel

Jede Gruppe G operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation $g \circ x := gxg^{-1}$. Die Bahn $G \circ x := \{gxg^{-1}\ |\ g \in G\}$ eines Elements $x \in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von x. Der Stabilisator $G_x := \{g \in G\ |\ gxg^{-1} = x\} = \{g \in G\ |\ gx = xg\}$ heißt Zentralisator von x und wird mit Z_G(x) bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen G

$|G| = |G \circ x| \cdot |Z_G(x)|$.

Siehe auch

• Gruppenoperation
• Satz von Lagrange

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1. 2. Auflage, Carl Hanser Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
• Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie, ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121-124

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel (engl.). In: MathWorld. (englisch)