Spiegelungsmatrix

Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g in der Ebene mit dem Neigungswinkel α. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Inhaltsverzeichnis

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung Sg an einer Ursprungsgeraden ist:

S_g =
\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors \vec v an einer beliebigen Geraden g = \vec a + r \cdot \vec u mit Neigungswinkel α darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

  1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g^* = r \cdot \vec u zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g um -\vec a erreicht: \vec v' = \vec v - \vec a. Der Vektor \vec v' wird nun an g * gespiegelt:
    \vec q' = S_g(\vec v') = S_g(\vec v - \vec a) = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a)
  2. Verschiebung von \vec q' um den Stützvektor \vec a der Ausgangsgeraden g
    \vec q = \vec q' + \vec a = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a) + \vec a

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante -1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

  • W. Mackens, H. Voß: Mathematik I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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