Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g in der Ebene mit dem Neigungswinkel α. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung S_g an einer Ursprungsgeraden ist:

$S_g = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors $\vec v$ an einer beliebigen Geraden $g = \vec a + r \cdot \vec u$ mit Neigungswinkel α darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g^* = r \cdot \vec u$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g um $-\vec a$ erreicht: $\vec v' = \vec v - \vec a$. Der Vektor $\vec v'$ wird nun an g ^* gespiegelt:

   $\vec q' = S_g(\vec v') = S_g(\vec v - \vec a) = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a)$

2. Verschiebung von $\vec q'$ um den Stützvektor $\vec a$ der Ausgangsgeraden g

   $\vec q = \vec q' + \vec a = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a) + \vec a$

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante -1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

• W. Mackens, H. Voß: Mathematik I für Studierende der Ingenieurwissenschaften