Quadratwurzel

Graph der Quadratwurzel-Funktion $y = \sqrt{x}$

In doppeltlogarithmischer Darstellung wird der Graph der Quadratwurzel zu einer Geraden mit Steigung 1/2

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich: "Wurzel", engl. "Square Root" (kurz sqrt)) einer nicht negativen Zahl y ist die (nicht negative) Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus y ist $\sqrt{y}$. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise $\sqrt[2]{y}$. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. $y^{\frac{1}{2}}$ ist gleichwertig mit $\sqrt{y}$. Zum Beispiel ist wegen $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ die Quadratwurzel von 9 gleich 3.

Da die Gleichung x² = y im Allgemeinen zwei Lösungen hat, definiert man üblicherweise die Quadratwurzel als die nicht negative der beiden Lösungen, d.h. es gilt immer $\sqrt{y}\geq 0$. Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist. Die beiden Lösungen der Gleichung sind somit $x_1=\sqrt{y}$ und $x_2=-\sqrt{y}$.

Vorbemerkung zu den Definitionen

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2).

• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel $\sqrt{}(b^2-4ac)$ anstelle von $\sqrt{b^2-4ac}$.

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Schaubild der Quadratfunktion (rot und blau). Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).

Definition: Die Quadratwurzel $\sqrt{x}$ einer nicht-negativen reellen Zahl x ist diejenige nicht-negative reelle Zahl r, deren Quadrat $r^2 = r \cdot r$ gleich x ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei

$\begin{align} q:\; [0;\infty{[} &\rightarrow [0;\infty{[}\\ x&\mapsto y=x^2 \end{align}$

die Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion q heißt Quadratwurzelfunktion $y \mapsto x=\sqrt{y}$.

Bemerkungen

• Zu beachten ist, dass die Quadratfunktion $x\mapsto x^2$ für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
• Die Einschränkung q der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von q auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
• Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von q auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von $\mathbb{R}$, in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Beispiele

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln

Radikand	Radix Quadratwurzel		Radikand	Radix Quadratwurzel
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

Eigenschaften und Rechenregeln

Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der Quadratfunktion für nichtnegative reelle Zahlen:

• $\sqrt{a\cdot b} =\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$, für $0\leq a, 0\leq b$
• $\sqrt{a\cdot b} =\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$, für $0\geq a, 0\geq b$
• $0\leq a< b \;\Longleftrightarrow\; 0\leq \sqrt{a} <\sqrt{b}$ d.h. die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
• $\sqrt{a^2}=|a|$ gilt mit dem reellen Betrag für beliebige reelle Zahlen a,
• dagegen gilt $(\sqrt{a})^2=a$ nur für nichtnegative a.
• Die Quadratwurzelfunktion ist auf $\Bbb R_+$ differenzierbar, dort gilt $\frac{\mathrm d\sqrt{x}}{\mathrm dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar, ihr Schaubild besitzt dort die senkrechte Tangente x = 0.
• Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall [a,b] ihres Definitionsbereichs Riemann-integrierbar, eine ihrer Stammfunktionen ist $F(x)=\tfrac{2}{3}\cdot (\sqrt{x})^3$.

Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Näherungswerte einiger häufig verwendeter Quadratwurzeln

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, deren Dezimalbruchentwicklung also ein nicht-periodischer, nicht abbrechender Dezimalbruch ist (nämlich genau dann, wenn das Ergebnis nicht natürlich ist). Die Berechnung einer Quadratwurzel, die keine rationale Zahl ist, besteht also darin, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.

• Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.

Beispiel (Näherungswert für $\sqrt{2}$):

Aus 1² = 1 < 2 und 2² = 4 > 2 folgt, dass $\sqrt{2}$ zwischen 1 und 2 liegen muss. Daher probiert man 1,1², 1,2² usw. durch. Aus 1,4² = 1,96 < 2 und 1,5² = 2,25 > 2 erkennt man, dass $\sqrt{2}$ zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss. Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:

$\sqrt{2} \approx 1{,}41421356$

• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird häufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung für Taschenrechner verwendet, da es schnell konvergiert. Dieses Verfahren ist das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen, angewandt auf die Funktion $x \mapsto x^2-a$.

• Die Taylorreihen-Entwicklung von $\sqrt{x}$ mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe der binomischen Reihe gefunden werden. Die Reihe konvergiert für $|x| \leq 1$ punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

  $\begin{align} \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n}\,x^n &= \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\, \frac{ (-1)^n }{ (1-2n)\, 4^n }\,x^n\\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 \pm \dots \end{align}$

• Berechnung mittels CORDIC-Algorithmus. Dieses Verfahren wird vor allem eingesetzt in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern.

Ermittlung der Quadratwurzel auf grafischem Wege

Eine Möglichkeit bietet der Kathetensatz:
Die Zahl n, deren Quadratwurzel gesucht ist, wird auf einer Zahlengeraden von Null aus aufgetragen. Über der Strecke zwischen 0 und n wird ein Halbkreis mit Radius $r=\tfrac{n}{2}$ gezeichnet (Thaleskreis). Bei 1 wird ein Lot zur Grundlinie errichtet, das den Halbkreis schneidet (Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks). Der Abstand dieses Schnittpunkts zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel von n (Kathete).

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Die komplexe Funktion „Quadriere z“, $q: z\mapsto z^2$ besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv, das heißt, jede komplexe Zahl kann sich als Quadrat einer komplexen Zahl darstellen lassen. Man kann daher analog zu den reellen (nicht-negativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von q auf eine Teilmenge D der komplexen Zahlen vornimmt, auf der q injektiv ist. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von q

$D_H:=\{x+ \mathrm i\, y\in\mathbb{C}|y>0 \text{ oder } (y=0 \text{ und } x\geq 0)\}$

zugrundelegt, dies ist die obere Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die nichtnegativen reellen Zahlen zu D_H gehören. Die Einschränkung von q auf D_H ist eine bijektive Abbildung von D_H auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz $\mathbb{C}$ definiert. Den Wert dieser Umkehrfunktion, $\sqrt{z}$ nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von z.

Ist z in kartesischen Koordinaten gegeben, also z = x + iy, dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel gegeben durch

$\sqrt{z} = \sqrt{x+iy} = \operatorname{sign}(y) \sqrt\tfrac{|z|+x}{2} + i\cdot\sqrt\tfrac{|z|-x}{2}$

wobei die Funktion sign(y) für negative y den Wert −1 hat und ansonsten gleich  1 ist. Der einzige Nebenzweig von q ist $-\sqrt{z}$.

Ist z in Polarkoordinaten gegeben, $z=|z| \cdot \mathrm e^{\mathrm i\cdot (\arg(z)+2n\pi)}$, dann haben die Quadratwurzeln (alle Zweige) die Darstellungen

$\sqrt{z} = \sqrt{|z|} \mathrm e^{ \mathrm i\left(\arg(z)/2+n\pi\right)},$

wobei n die Werte 0 oder 1 annehmen kann und $\sqrt{|z|}$, die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel ist. Für n=0 ergibt sich der Hauptwert von $\sqrt{z}$, der Hauptwert $w= _H\sqrt{z}$ ist also diejenige Lösung von w² = z mit dem kleinsten Argument. Wenn mit $\sqrt{z}$ eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert, der Lösung mit n = 0 wird das Argument arg(z)(„der Winkel von z“, s.u.) halbiert. Die andere Lösung (für n = 1) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl $z=x+\mathrm i\, y$ ist der orientierte Winkel $\angle(EOZ)$ in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind E(1 | 0), O(0 | 0) und Z(x | y) in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von z und das Argument von w₁ farbig gekennzeichnet.

• Komplexe Quadratwurzel
• 

  Ein Zweig der Quadratwurzel

• 

  Zweiter Zweig

• 

  Die Riemannsche Fläche der Quadratwurzel lässt erkennen, wie die beiden Zweige in einander übergehen.

Beispiel: Berechnung einer komplexen Quadratwurzel

(Quadratwurzeln aus $z = -1+\mathrm i\,\sqrt{3}$):

Weil z in kartesischen Koordinaten gegeben ist, verwendet man am einfachsten die Wurzeldarstellung für diese Koordinaten. Zunächst wird der Betrag des Radikanden ermittelt:

$|z| = \left|-1+\mathrm i\sqrt{3} \right| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu

$\begin{align} w_1 &= \operatorname{sign}(\sqrt{3})\sqrt\tfrac{2+(-1)}{2} + \mathrm i \cdot \sqrt\tfrac{2-(-1)}{2}\\ &= 1\cdot \sqrt\tfrac{1}{2} + \mathrm i \cdot \sqrt\tfrac{3}{2} = \sqrt{2} \cdot \left(\tfrac{1}{2} + \mathrm i \cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) \end{align}$

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

$w_2 = -w_1 = \sqrt{2} \cdot \left( -\tfrac{1}{2} - \mathrm i \cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \right)$

Quadratwurzeln modulo n

Auch im Restklassenring $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt q eine Quadratwurzel von x, wenn gilt:

$q^2 \equiv x \;\mathrm{mod}\; n$

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln.

Um die Quadratwurzeln von x modulo n zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung

$n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdots p_{k}^{m_k}$

und anschließend die Lösungen modulo der jeweiligen Primpotenzen p^m. Diese Lösungen setzt man schließlich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen p ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu x so:

Um zu testen, ob x überhaupt eine Quadratwurzel in $\mathbb Z/p \mathbb Z$ hat, verwendet man das Legendre-Symbol

$\left(\frac xp\right) \equiv x^{\frac{p-1}2}\,\bmod\,p$

denn es gilt

$\left(\frac xp\right) = \begin{cases} -1, & \text{wenn }x \text{ kein quadratischer Rest modulo }p \text{ ist}\\ 0, & \text{wenn }x \text{ und }p \text{ nicht teilerfremd sind }\\ 1, & \text{wenn }x \text{ ein quadratischer Rest modulo }p \text{ ist} \end{cases}$.

Im ersten Falle besitzt x keine Quadratwurzel in $\mathbb Z/p \mathbb Z$ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im folgenden an, dass $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr) = 1$ ist.

Berechnung für den Fall p = 3 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr) = 1$, dann sind

$q \equiv \pm x^{\frac{p+1}{4}}\,\bmod\,p$

die 2 Quadratwurzeln von x modulo p.

Berechnung für den Fall p = 1 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr) = 1$, dann sind

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_\frac{p-1}{4} + W_\frac{p+3}{4} \right)\,\bmod\,p$

die 2 Quadratwurzeln von x modulo p. Hierbei wählt man r dergestalt, dass das Legendre-Symbol

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right) = -1$

ist. Dazu einfach verschiedene Werte von r durchprobieren. Die Folge W_n ist rekursiv definiert:

$W_n = \begin{cases} r^2/x-2, & \text{ wenn }n = 1\\ W_{n/2}^2-2, & \text{ wenn }n \text{ gerade}\\ W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_1, & \text{ wenn }n > 1 \text{ ungerade} \end{cases}$.

Rechenbeispiel für x = 3 und p = 37:

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von x gegeben durch

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_9 + W_{10} \right)\,\bmod\,37$

Für r findet man durch Probieren den Wert r = 2, denn es ist

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right) \equiv (r^2-4x)^\frac{p-1}2 \equiv (-8)^{18} \equiv 36 \equiv -1\,\bmod\,37.$

Die Werte für W₉ und W₁₀ ergeben sich zu

$\begin{matrix} W_1 &\equiv& r^2/x - 2 &\equiv& 4/3 -2 &\equiv& 24 & \bmod\,37 \\ W_2 &\equiv& W_1^2-2 &\equiv& 24^2-2 &\equiv& 19 & \bmod\,37 \\ W_3 &\equiv& W_1 W_2 - W_1 &\equiv& 24\cdot 19 - 24 &\equiv& 25 & \bmod\,37 \\ W_4 &\equiv& W_2^2-2 &\equiv& 19^2-2 &\equiv& 26 & \bmod\,37 \\ W_5 &\equiv& W_2 W_3 - W_1 &\equiv& 19\cdot 25 - 24 &\equiv& 7 & \bmod\,37 \\ W_9 &\equiv& W_4 W_5 - W_1 &\equiv& 26\cdot 7 - 24 &\equiv& 10 & \bmod\,37 \\ W_{10}&\equiv& W_5^2-2 &\equiv& 7^2-2 &\equiv& 10 & \bmod\,37 \\ \end{matrix}$

Einsetzen dieser Werte ergibt

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_9 + W_{10} \right) \equiv \pm \frac{3}{4}(10 + 10) \equiv \pm 15 \mbox{ mod } 37$

das heißt 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Quadratwurzeln aus Matrizen

Als Wurzel einer quadratischen Matrix A bezeichnet man alle Matrizen B, die mit sich selbst multipliziert A ergeben:

A = BB $\Leftrightarrow$ B ist Wurzel von A

(Anmerkung: man findet auch Quellen, in denen B die Wurzel von A ist, wenn A = BB^T)

Man schreibt die Wurzel von A auch als $A^\frac{1}{2}$.

Anzahl existierender Wurzeln

Wie auch bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. So besitzt die Einheitsmatrix $I = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ unendlich viele Wurzeln, nämlich unter anderem $I^\frac{1}{2} = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \bigr)$ für $a \in\Bbb C$.

Zudem gilt wie bei den reellen oder komplexen Zahlen: Wenn $A^\frac{1}{2}$ eine Wurzel aus A ist, dann ist $- A^\frac{1}{2}$ dies ebenfalls.

Geometrische Interpretation von Wurzeln

Betrachtet man die Matrix A als lineare Transformation, das heißt, als eine Transformation, die Punkte $\vec{x_i}$ im Vektorraum in andere Punkte $\vec{x_i}'$ überführt, dann kann man die Wurzel $A^\frac{1}{2}$ als die Transformation interpretieren, die man zweimal durchführen muss, um $\vec{x_i}$ in $\vec{x_i}'$ zu transformieren.

Beispiel:

A sei die zweidimensionale Rotationsmatrix mit dem Winkel α:

$A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

Dann ist eine Wurzel von A die Rotationsmatrix mit dem Winkel α / 2 (oder auch mit dem Winkel $(360^\circ +\alpha)/2$). Mit der ersten Multiplikation von $\vec{x}$ mit $A^\frac{1}{2}$ erreicht man eine Drehung um den halben Winkel und mit der zweiten Multiplikation noch einmal.

Berechnung einer Wurzel

Man kann zwei Wurzeln einer Matrix A der Größe $n \times n$ leicht bestimmen, wenn A eine Diagonalmatrix ist oder sich zumindest in eine Diagonalform überführen lässt (siehe Diagonalisierung).

Fall 1: Diagonalmatrix

Im ersten Fall ist eine Wurzel einfach zu bestimmen, indem von jedem Element auf der Diagonalen die Wurzel bestimmt wird: $A^\frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \sqrt{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \sqrt{a_{nn}} \end{pmatrix}$

Für jedes der n Diagonalelemente kann man das Vorzeichen beliebig wählen, sodass man 2ⁿ verschiedene Lösungen erhält.

Da die Matrix A auch negative Werte auf der Diagonalen besitzen kann, können die Wurzeln dementsprechend komplexe Zahlen beinhalten. Diagonalmatrizen mit negativen Diagonaleinträgen können jedoch auch reelle Wurzeln besitzen; diese sind dann selbst jedoch keine Diagonalmatrizen, zum Beispiel ist

$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

Fall 2: Diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix A keine Diagonalmatrix, kann man sie ggf. in Diagonalform überführen:

Man bestimmt die Matrizen T und D mit A = TDT ^{− 1}. Die Matrix T besteht aus den Eigenvektoren der Matrix A als Spalten. Die Matrix D ist eine Diagonalmatrix mit den zugehörigen Eigenwerten auf der Diagonalen.

Eine Wurzel der Matrix A berechnet sich dann wie folgt:

$A = A^\frac{1}{2} A^\frac{1}{2} = T D T^{-1} = T D^\frac{1}{2} D^\frac{1}{2} T^{-1} = (T D^\frac{1}{2} T^{-1}) (T D^\frac{1}{2} T^{-1}) \Rightarrow A^\frac{1}{2} = T D^\frac{1}{2} T^{-1}$

Da D eine Diagonalmatrix ist, lässt sich ihre Wurzel wie oben beschrieben berechnen. Auch hierbei ist zu beachten, dass die Diagonalmatrix negative Eigenwerte beinhalten kann, wodurch die Wurzel komplex wird. Da man auch hier wie in Fall 1 für jedes der n Diagonalelemente der Matrix D das Vorzeichen beliebig wählen kann, erhält man auch hier 2ⁿ verschiedene Lösungen.

Fall 3: Nicht diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix A nicht diagonalisierbar, lässt sich mit dem gezeigten Verfahren keine Wurzel berechnen. Dies bedeutet nicht, dass A keine Wurzel besitzt: So ist beispielsweise die Scherungs-Matrix $A = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch die Wurzel $\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$.

Falls die nicht diagonalisierbare Matrix A komplexe Zahlen beinhalten darf, ist sie auf jordansche Normalform transformierbar.

Man bestimmt Matrizen Q, ihre Inverse Q ^{− 1} und J mit J = Q ^{− 1}AQ, wobei J in der folgenden Blockdiagonalform ist :

$J= \begin{pmatrix} J_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_k \end{pmatrix} .$

Die J_i sind Jordan-Blöcke der Form :

$J_i= \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & 0 \\ & \lambda_i & 1 & & \\ && \ddots{} & \ddots{}\\ &&& \lambda_i & 1 \\ 0 & & & & \lambda_i \end{pmatrix} .$

Eine Wurzel aus A berechnet sich gemäß :

$A = A^\frac{1}{2} A^\frac{1}{2} = Q J Q^{-1} = Q J^\frac{1}{2} J^\frac{1}{2} Q^{-1} = (Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}) (Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}) \Rightarrow A^\frac{1}{2} = Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}$

Die Wurzel aus J ist aus jedem Jordan-Block J_i einzeln zu ziehen.

Falls $\lambda_i \,\neq\, 0$ gilt, ist die Wurzel aus einem Jordan-Block J_i gegeben durch :

$J_i^\beta= \begin{pmatrix} \alpha_{i0} & \alpha_{i1} & \alpha_{i2} & \alpha_{i3} \\ 0 & \alpha_{i0} & \alpha_{i1} & \alpha_{i2} \\ 0 & 0 & \alpha_{i0} & \alpha_{i1} \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_{i0} \end{pmatrix}$

mit $\alpha_{ij}=\frac{\Gamma(\beta+1)\lambda_i^{\beta-j}}{\Gamma(j+1)\Gamma(\beta-j+1)}$

und j = 0,1...(m_i − 1)

wobei die Größe des Jordan-Blocks J_i mit m_i (in der Darstellung m_i=4), die Subdiagonalen mit j (j=0 ist die Diagonale) und die Gammafunktion mit Γ bezeichnet sind. Die Potenz β ist mit $\tfrac{1}{2}$ einzusetzen.

Falls λ_i = 0 und gleichzeitig m_i > 1 gilt, existiert die Wurzel aus dem Jordan-Block J_i nicht.

Außerhalb der Jordan-Blöcke stehen lauter Nullen.

Weil die Potenz $\lambda_i^\frac{1}{2}$ im Allgemeinen zwei Lösungen besitzt, kann jeder Jordan-Block J_i zwei verschiedene Lösungen haben. So entstehen durch Kombination 2^k Lösungen, wobei k die Anzahl der Jordan-Blöcke J_i bezeichnet.

Beweis der Formel durch Einsetzen der Zahlen und Potenzieren.

Positiv definite symmetrische Matrizen

Betrachtet man nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix A besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel $A^\frac{1}{2}$. Man erhält sie, indem man A mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Trägheitssatz von Sylvester stets möglich) und dann wie oben die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Siehe auch Cholesky-Zerlegung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Quadratwurzel aus einem genäherten Integral-Operator

Man kann die bestimmte Integral-Funktion G,g_i: = g(x_i) von 0 bis x_i mit x_i = iΔx und i = 0,1...(n − 1) einer vorgegebenen Funktion F,f_i: = f(x_i), die an den äquidistanten Stützstellen x_i die Werte f_i annimmt, als Matrizen-Multiplikation G = FI wie folgt numerisch nähern (für n = 4) :

$G = F I = \begin{pmatrix} g_0 & g_1 & g_2 & g_3 \\ 0 & g_0 & g_1 & g_2 \\ 0 & 0 & g_0 & g_1 \\ 0 & 0 & 0 & g_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ 0 & f_0 & f_1 & f_2 \\ 0 & 0 & f_0 & f_1 \\ 0 & 0 & 0 & f_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x & \Delta x & \Delta x & \Delta x \\ 0 & \Delta x & \Delta x & \Delta x \\ 0 & 0 & \Delta x & \Delta x \\ 0 & 0 & 0 & \Delta x \end{pmatrix} .$

Es ist anschaulich klar, dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppel-Integral H,h_i: = h(x_i) erhält : H = GI = FII = FI².

So kann man die Matrix I als numerisch genäherten Integral-Operator auffassen.

Die Matrix I ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet :

$\begin{pmatrix} \Delta x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \Delta x \end{pmatrix} .$

Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen, könnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben. Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Lösung wie folgt :

$I^\beta = \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 0 & \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & \alpha_0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_0 \end{pmatrix}$

mit α₀ = (Δx)^β,

$\alpha_k=\sum_{j=1}^{k} \frac{\Gamma(\beta + 1)(-1)^{j+1}\alpha_{k-j}} {\Gamma(j+1)\Gamma(\beta-j+1)}$

und k = 1,2...(n − 1).

Darin bezeichnen die Indizes von α die Subdiagonalen (0 ist die Diagonale) und der Exponent β ist gleich $\tfrac{1}{2}$. Setzt man Δx als reell und positiv voraus, so ist $(\Delta x)^\frac{1}{2}$ reell und definitionsgemäß positiv.

Damit kann man ein "halbes" bestimmtes Integral L,l_i: = l(x_i) von 0 bis x_i der Funktion f(x) wie folgt numerisch nähern :

$L = F I^\beta = \begin{pmatrix} l_0 & l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & l_0 & l_1 & l_2 \\ 0 & 0 & l_0 & l_1 \\ 0 & 0 & 0 & l_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ 0 & f_0 & f_1 & f_2 \\ 0 & 0 & f_0 & f_1 \\ 0 & 0 & 0 & f_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 0 & \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & \alpha_0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_0 \end{pmatrix}$

Sucht man alle Operatoren, die mit sich selbst multipliziert den angenäherten Integral-Operator I ergeben, so muss man zusätzlich das negative Vorzeichen einsetzen, das heißt es gibt zwei Lösungen $\pm I^\frac{1}{2}$.

Zum Herleiten der Formel kann man zunächst I invertieren, das Resultat hoch β rechnen und zuletzt nochmals invertieren.

Siehe auch

• Wurzel aus 2, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2
• Wurzel aus 3
• Wurzel (Mathematik)
• Modulo, Restklassenring
• Quadratwurzelgesetz von Penrose

Weblinks

 Commons: Square root – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien