Stochastische Matrix

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand i (in einer Menge Ω) zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt in bestimmte andere Zustände j (in einer Menge Ω') überzugehen. Sie finden in der Bioinformatik eine breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen. In der Quantenphysik werden oft Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zuständen untersucht.

Diskreter Fall

Im diskreten Fall, wo Ω und Ω' endliche oder abzählbare Mengen sind, genügt es die Wahrscheinlichkeiten π_i,j anzugeben, mit denen man vom Zustand i in den Zustand j gelangt. Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Matrix $\pi = (\pi_{i,j})_{i\in\Omega, j\in\Omega'}$, die die Eigenschaft hat, dass alle Elemente zwischen 0 und 1 liegen und dass die Zeilensummen $\sum_{j\in\Omega'} \pi_{i,j}$ den Wert 1 haben. Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet. Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω mit einer Zähldichte $\rho=(\rho_i)_{i\in\Omega}$ eine Zähldichte $\rho\pi = (\sum_{i\in\Omega} \rho_i \pi_{i,j})_{j\in\Omega'}$ in Ω' zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall gibt man die Wahrscheinlichkeiten π(x;A) an, mit denen man von einem Zustand x zu einem beliebigen Ereignis A gelangt. Dazu seien $(\Omega, \mathcal A)$ und $(\Omega', \mathcal A')$ Messräume. Eine Abbildung $\pi : \Omega \times \mathcal A' \to [0,1]$ heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von $(\Omega, \mathcal A)$ nach $(\Omega', \mathcal A')$, wenn gilt:

• Für jedes $x \in \Omega$ ist $\pi(x; \;\cdot\;)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \mathcal A')$.
• Für jedes $A \in \mathcal A'$ ist $\pi(\;\cdot\;; A)$ eine $\mathcal A$-messbare Funktion.

Jedem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf $(\Omega, \mathcal A)$ ordnet π durch die Zuordnung $A \mapsto \int_\Omega P(dx) \pi(x; A)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \mathcal A')$ zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von π in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, π(A;x) oder auch π(A | x), in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.