Stromteilerregel

Der Stromteiler ist eine Parallelschaltung aus passiven elektrischen oder magnetischen Zweipolen, durch die ein elektrischer Strom bzw. ein magnetischer Fluss in mehrere Teilströme/-flüsse aufgeteilt wird.

Stromteiler für Wechselstrom können auch mit Transformatoren realisiert werden, sie heißen dann Stromwandler.

Allgemeine Stromteilerregel

Zur einfachen Berechnung der Teilströme bietet sich die Stromteilerregel an. Diese Regel gilt nur, wenn alle Zweige, auf die sich der Gesamtstrom aufteilt, passiv sind. Bei Gleichstrom sind dies ohmsche Widerstände. Bei Wechselstrom wären zusätzlich Kondensatoren (kapazitiver Stromteiler) und Spulen (induktiver Stromteiler) möglich. In magnetischen Schaltungen gibt es nur magnetische Widerstände. Sobald aktive Bauelemente wie Quellen vorkommen, muss auf das Maschenstromverfahren zurück gegriffen werden. Anwendung findet die Stromteilerregel auch bei Berechnung eines Netzwerkes mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

Die Stromteilerregel lautet:

$\tfrac{\mbox{Teilstrom}}{\mbox{Gesamtstrom}} = \tfrac{\mbox{Gesamtwiderstand}}{\mbox{Vom Strom durchflossener Widerstand}}$

bzw. mit Leitwerten ausgedrückt:

$\tfrac{\mbox{Teilstrom}}{\mbox{Gesamtstrom}} = \tfrac{\mbox{Vom Strom durchflossener Leitwert}}{\mbox{Gesamtleitwert}}$

mit

$\mbox{Leitwert} = \tfrac{\mbox{1}}{\mbox{Widerstand}}$

Stromteiler mit ohmschen Widerständen

Verallgemeinert auf n parallele Zweige (i = 1...n) ergeben sich für den Strom in Zweig k:

• für Ohm'sche Schaltungen

$\frac{I_k}{I} = \frac{R}{R_k} = \frac{G_k}{G}$

mit dem Gesamtwiderstand $\frac {1}{R} = \sum_{i=1}^n \frac {1}{R_i}$ und dem Gesamtleitwert $G = \sum_{i=1}^n G_i$

• für komplexe Schaltungen

$\frac{I_k}{I} = \frac{Z}{Z_k} = \frac{Y_k}{Y}$

mit der Gesamtimpedanz $\frac {1}{Z} = \sum_{i=1}^n \frac {1}{Z_i}$ und der Gesamtadmittanz $Y = \sum_{i=1}^n Y_i$

• für magnetische Schaltungen

$\frac{\Phi_k}{\Phi} = \frac{R_m}{R_{m_k}} = \frac{G_{m_k}}{G_m}$

mit dem Gesamtwiderstand $\frac {1}{R_m} = \sum_{i=1}^n \frac {1}{R_{m_i}}$ und dem Gesamtleitwert $G_m = \sum_{i=1}^n G_{m_i}$

Die Widerstände eines jeden Zweiges müssen zunächst zu einem Widerstand pro Zweig zusammengefasst werden, um den Gleichungen in der oben abgebildeten Form zu entsprechen. Der Gesamtwiderstand bezieht sich nur auf die betrachtete Parallelschaltung, in der sich der Gesamtstrom aufteilt. Eventuelle Widerstände, die vor oder nach der Parallelschaltung in Reihe liegen, werden nicht berücksichtigt. Bei komplexeren Schaltungen mit mehrfachen Verzweigungen, muss die Formel eventuell mehrmals angewendet werden, um den gesuchten Teilstrom zu erhalten.

Zur groben Kontrolle der mit dieser Regel berechneten Ströme eignen sich zwei einfache Merksätze. Zum einen ist jeder Teilstrom kleiner als der Gesamtstrom, da dieser der Summe aller Teilströme entspricht. Zum anderen verhalten sich die Teilströme in den Zweigen umgekehrt proportional zu ihren Zweigwiderständen. Das bedeutet, je kleiner (größer) der Zweigwiderstand ist, desto größer (kleiner) ist der Teilstrom.

In manchen Quellen wird die Regel etwas modifiziert ausgedrückt. Anfangs wirkt diese Variante etwas schwieriger, doch fällt sie geübten Anwendern mit der Zeit ebenso leicht wie die erste Variante. Sie lautet folgendermaßen:

$\tfrac{\mbox{Teilstrom}}{\mbox{Gesamtstrom}} = \tfrac{\mbox{Vom Teilstrom nicht durchflossener Teilwiderstand}}{\mbox{Ringwiderstand der Masche}}$

Herleitung der Regel für ein einfaches Beispiel

Stromteiler aus zwei parallel geschalteten ohmschen Widerständen

Laut den Kirchhoffschen Regeln teilt sich der Gesamt-Strom $\,I$ auf die beiden Zweige auf:

$\,I = I_1 + I_2$

Da über den beiden parallel geschalteten Widerständen die gleiche Spannung abfällt, gilt nach dem Ohmschen Gesetz:

$R_1 \cdot I_1 = R_2 \cdot I_2$

Löst man diese Gleichung nach I₂ auf

$I_2 = \frac{R_1}{R_2} \cdot I_1$

und setzt das Ergebnis in I = I₁ + I₂ ein, ergibt sich:

$I = I_1 \cdot \left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right) = I_1 \cdot \frac{R_1 + R_2}{R_2} = I_1 \cdot \frac{R_1}{R_1 \parallel R_2}$

Dividiert man durch I₁ und bildet auf beiden Seiten den Kehrwert, ergibt sich dasselbe Ergebnis wie für die Stromteilerregel:

$\frac{I_1}{I} = \frac{R}{R_1}$ bzw. für den anderen Zweig $\frac{I_2}{I} = \frac{R}{R_2}$ mit dem Gesamtwiderstand $R = R_1 \parallel R_2$

Der Gesamtstrom sowie die Werte der Widerstände sind im Allgemeinen bekannt.

Beispiel mit mehrfach Anwendung

Stromteiler aus drei Zweigen mit einer inneren Verzweigung im untersten Zweig

Gesucht wird der Strom durch R₃₂. Dazu wird zunächst der Strom I₃ im untersten Zweig berechnet. Die Stromteilerregel ergibt die Gleichung:

$\frac{I_3}{I} = \frac{R_1 \parallel R_2 \parallel R_3}{R_3}$

mit $\,R_2 = R_{21} + R_{22}$ und $R_3 = R_{31} + \left(R_{32} \parallel R_{33} \right)$

Der Teilstrom I₃ fließt durch die Parallelschaltung aus R₃₂ und R₃₃. Durch nochmalige Anwendung der Stromteilerregel, wird der Strom durch R₃₂ abhängig von I₃ ermittelt:

$\frac{I_{32}}{I_3} = \frac{R_{32} \parallel R_{33}}{R_{32}}$

Werden beide Gleichungen miteinander multipliziert, ergibt sich eine Gesamtgleichung in der I₃₂ direkt von I abhängig ist:

$\frac{I_3}{I} \cdot \frac{I_{32}}{I_3} = \frac{I_{32}}{I} = \frac{R_1 \parallel R_2 \parallel R_3}{R_3} \cdot \frac{R_{32} \parallel R_{33}}{R_{32}}$

Beispiel für magnetische Schaltung

magnetischer Flussteiler aus zwei Zweigen

In magnetischen Schaltungen wird die Regel genauso angewendet. Für die Teilflüsse durch $R_{m_2}$ und $R_{m_3}$ ergeben sich die Gleichungen:

$\frac{\Phi_2}{\Phi} = \frac{R_m}{R_{m_2}}$ bzw. für den anderen Zweig $\frac{\Phi_3}{\Phi} = \frac{R_m}{R_{m_3}}$ mit dem Gesamtwiderstand $R_m = R_{m_2} \parallel R_{m_3}$

Anwendung

Stromteiler werden insbesondere zur Messung hoher Ströme verwendet, sie heißen dann Shunt, wobei das Messgerät einen der Strompfade bildet. Im wesentlichen misst es jedoch die am Hauptpfad abfallende Spannung, da es nur von einem sehr kleinen Teilstrom durchflossen wird. In Vielfachmessgeräten befinden sich umschaltbare Stromteiler zur Strommessung in verschiedenen Bereichen.

Siehe auch

• Spannungsteiler

Weblinks

• Übungsaufgaben zur Stromteilerregel
• Weitere Webseite mit Stromteilerregel