Magnetischer Kreis

Ein magnetischer Kreis ist ein geschlossener Pfad eines magnetischen Flusses Φ. Die Betrachtung magnetischer Kreise spielt vor allem in der Konstruktion von Elektromotoren, Transformatoren oder anderen Elektromagneten eine wesentliche Rolle. Hierbei sind vor allem Kopplungsprozesse zwischen den einzelnen Komponenten der magnetischen Kreise von Relevanz.

Elemente eines magnetischen Kreises

Bei einem magnetischen Kreis kann man zwischen zwei Signalarten:

• dem magnetischen Fluss und
• der magnetischen Spannung,

und drei grundlegenden Arten von Bauelementen:

• dem magnetischen Leiter
• dem magnetischen Widerstand mit dem Sonderfall des magnetischen Isolators und
• magnetischen Koppelelementen

unterscheiden. Die Darstellung im Artikel folgt in den physikalischen Inhalten den Zusammenhängen, wie sie in ^[1] dargestellt wurden. In ihrer Systematik folgt die Darstellung der Autoren Lenk, Pfeifer und Wertschützky ^[2].

Magnetischer Fluss

Spule als Koppelelement zwischen dem magnetischen Kreis und dem elektrischen Stromkreis

Der magnetische Fluss wird gewöhnlich mit einer Spule als Koppelelement in den magnetischen Kreis eingebracht. Seinem Namen entsprechend handelt es sich beim magnetischen Fluss um eine sogenannte "Flusskoordinate". Bei Verzweigungen des magnetischen Kreises verhält sich der magnetische Fluss entsprechend der kirchhoffschen Knotenpunktgleichung und teilt sich in die einzelnen Teilzweige auf.

Den Zusammenhang zwischen der elektrischen Spannung $\underline U$ und dem magnetischen Fluss $\underline \Phi$ liefert das Induktionsgesetz in der transformierten Darstellung mit komplexen Zahlen:

$\underline \Phi = \frac{\underline U}{j \omega N}$

Dabei sind j die imaginäre Einheit, ω = 2πf die Kreisfrequenz und N die Windungszahl der Spule.

Magnetische Spannung V_m und magnetische Durchflutung Θ

Die magnetische Spannung ist als Linienintegral über die magnetische Feldstärke H zwischen zwei Punkten P1 und P2 entlang des Weges s definiert^[3].

$V_m := \int_{P1}^{P2} \vec H \mathrm d \vec s$

Die magnetische Spannung wird im Allgemeinen von elektrischen Strömen hervorgerufen und über das Koppelelement Spule in den Magnetkreis eingebracht. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die elektrischen Ströme nicht eine magnetische Spannung zwischen zwei Punkten, sondern eine sogenannte magnetische Umlaufspannung oder magnetische Durchflutung verursachen. Hierbei handelt es sich um eine magnetische Spannung entlang eines geschlossenen Weges. Die magnetische Umlaufspannung bezeichnet man zur Unterscheidung von der magnetischen Spannung mit dem Buchstaben Θ und schreibt ^[4]

$\Theta := \oint \vec H \mathrm d \vec s$

Die Besonderheit beim Vorhandensein einer Umlaufspannung besteht darin, dass die magnetische Spannung zwischen zwei Punkten von dem durchlaufenen Weg abhängt (nichtkonservatives Feld), so dass die kirchhoffsche Maschenregel für magnetische Spannungen im Allgemeinen nicht angewendet werden kann. Im Modell des magnetischen Kreises "rettet" man die Kirchhoffsche Maschenregel jedoch durch die Vereinbarung, dass bei der Anwendung der Maschenregel keine Integrationswege durch Spulenwicklungen betrachtet werden und vermeidet dadurch innere Widersprüche der Theorie.

Da die Koppelspule meist über einen magnetisch gut leitfähigen Spulenkörper gewickelt wird, kann man zur Berechnung der magnetischen Spannung vereinfachte Annahmen treffen. Denn wenn in dem Spulenkörper nur eine verschwindende magnetische Feldstärke H herrscht, fällt der relevante Anteil der von den Spulenströmen erzeugten magnetischen Spannung $\oint H ds$ ausschließlich außerhalb des Spulenkörpers ab.

Ein Spulenstrom $\underline I$, der einen magnetisch gut leitfähigen Spulenkörper N-mal umwickelt, verursacht unter diesen Umständen außerhalb der Spule eine magnetische Spannung V_m der Größe

$V_m = N \cdot \underline I$

mit der in der Zeichnung angegebenen Bezugsrichtung.

Magnetische Leiter

Magnetisch gut leitende Verbindungselemente sind das Analogon zur metallischen Verbindungsleitung im elektrischen Stromkreis.

Magnetische Leiter sind dadurch gekennzeichnet, dass das Verhältnis aus der magnetischen Spannung $\underline V_m$ und dem magnetischem Fluss $\underline \Phi$ im magnetischen Leitermaterial nahezu gleich Null ist

$\frac{\underline V_m}{\underline \Phi} \to 0$

Ein Beispiel für einen magnetischen Leiter ist der Magnetkern bei einem Transformator oder einer Spule. Die entscheidende Bedingung für magnetisch leitfähige Materialien ist ein hoher Wert der relativen Permeabilitätszahl μ_r. Die relative Permeabilitätszahl gibt die magnetische Leitfähigkeit des jeweiligen Stoffes im Vergleich zum Vakuum an. Typische Werte für ferromagnetische Kernmaterialien in Spulen und Transformatoren liegen im Bereich 300 < μ_r < 10.000.

Magnetische Widerstände

Verbindungselemente aus magnetisch schlecht leitenden Materialien wie paramagnetischen oder diamagnetischen Materialien heißen magnetische Widerstände.

Magnetische Widerstände sind dadurch gekennzeichnet, dass das Verhältnis aus der magnetischen Spannung $\underline V_m$ und dem magnetischen Fluss $\underline \Phi$ eine endliche reelle Zahl

$R_{mag} := \frac{\underline V_m}{\underline \Phi} < \infty$

ist^[5].

Sie sind das Analogon zum elektrischen Widerstand. Ein Beispiel für einen magnetischen Widerstand ist eine kurze Unterbrechung des magnetischen Kernmaterials eines Transformators durch einen Luftspalt. Supraleiter haben eine Permeabilitätszahl μ_r = 0 und sind demzufolge ideale magnetische Isolatoren.

Elektrische Spule als magnetisches Koppelelement

Vierpoldarstellung der Kopplung zwischen elektrischem Stromkreis und magnetischem Kreis mit einer Spule

Mithilfe von Koppelelementen kann man die Wirkung von Netzwerken aus anderen physikalischen Gebieten in den Magnetkreis einbringen. Ein besonders häufig verwendetes Koppelelement im Magnetkreis ist die elektrische Spule. Sie verknüpft elektrische Stromkreise mit dem magnetischen Kreis und überträgt Energie zwischen beiden Netzwerken.

Die Kopplungsmatrix zwischen den elektrischen Größen und den magnetischen Größen ergibt sich zu:

$\begin{pmatrix} {\underline I} \\ {\underline U/(j\omega)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} & {1/N} \\ {N} & {0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\underline \Phi} \\ {\underline V_m} \end{pmatrix}$

Hierbei ist j die imaginäre Einheit, ω = 2πf die Kreisfrequenz und N die Windungszahl der Spule. Der Ausdruck $\underline U/(j\omega)$ bezeichnet in zeitabhängiger Darstellung das Zeitintegral der elektrischen Spannung - die sogenannte Spannungszeitfläche.

Da die elektrische Spule

• eine elektrische Potentialgröße ($\underline U/(j\omega)$) in eine magnetische Flussgröße ($\underline \Phi$) und
• eine elektrische Flussgröße ($\underline I$) in eine magnetische Potentialgröße ($\underline V_m$)

überführt, sagt man auch, die Spule sei ein gyratorisches Koppelelement. Eine spezielle Beschreibung des Gyrators als rein elektrisches (aktives) Koppelelement befindet sich im zugehörigen Wikipedia-Artikel. Eine allgemeine Beschreibung liefert Küpfmüller ^[6] im Rahmen der Vierpoltheorie in Kapitel 5.5, sowie Lenk im Rahmen der elektromechanischen und elektroakustischen Netzwerktheorie ^[7].

Um die Wirkung von elektrischen Bauelementen auf den Magnetkreis zu verstehen, kann man die elektrischen Größen mithilfe der Transformationsgleichungen für die Spule in magnetische Größen umrechnen.

Transformation eines ohmschen Widerstandes

Im Falle eines elektrischen Widerstandes R liegt ein konstantes Verhältnis aus elektrischer Spannung $\underline U$ und elektrischem Strom $\underline I$ vor.

Mithilfe der Transformationsgleichungen ergibt sich an einer Spule mit N Windungen daraus eine magnetische Impedanz von:

$\underline Z_{mag} = \frac{\underline V_m}{\underline \Phi} = \frac{N \cdot \underline I}{\frac{\underline U}{j \omega N}} = j \omega \frac{N^2}{R}$

Ein elektrischer Kurzschluss R=0 verursacht demzufolge einen magnetischen Leerlauf, während ein elektrischer Leerlauf einen magnetischen Kurzschluss verursacht. Die physikalische Ursache des magnetischen Kurzschlusses beruht dabei auf der Modellannahme, dass die Spule einen Spulenkörper mit hoher magnetischer Leitfähigkeit umschließt.

Es ist zu beachten, dass ein elektrischer Widerstand an der Spule zu einer magnetischen Impedanz der Form jωX führt. Der ohmsche Widerstand an der Spule verursacht daher im magnetischen Kreis keinen magnetischen Widerstand, sondern vielmehr eine magnetische Induktivität L_m. Die Autoren Süße, Burger et al^[8] bezeichnet den elektrischen Widerstand am Koppelelement Spule in etwas allgemeingültigerer Darstellung als Wirbelstromelement und führen aus: Während der elektrische Widerstand R ein Energieverbraucher ist, stellt der magnetische Widerstand R_m einen Energiespeicher dar. Entgegengesetzt dazu ist die Induktivität L ein Energiespeicher, und das Wirbelstromelement (magnetische Induktivität L_m) ein Energieverbraucher.

Transformation einer elektrischen Induktivität

Eine elektrische Induktivität L führt im Magnetkreis zu einem rein reellen magnetischen Widerstand mit positivem Vorzeichen:

$\underline Z_{mag} = \frac{\underline V_m}{\underline \Phi} = \frac{N \cdot \underline I}{\frac{\underline U}{j \omega N}} = j \omega \frac{N^2}{j \omega L} = \frac{N^2}{L}$

Transformation einer elektrischen Kapazität

Eine elektrische Kapazität C führt im Magnetkreis zu einem rein reellen magnetischen Widerstand mit negativem Vorzeichen:

$\underline Z_{mag} = \frac{\underline V_m}{\underline \Phi} = \frac{N \cdot \underline I}{\frac{\underline U}{j \omega N}} = j \omega \frac{N^2}{\frac{1}{j \omega C}} = - \omega^2 N^2 C$

Prinzipiell können auch Koppelelemente zu anderen physikalischen Gebieten wie der Mechanik definiert werden. So bewirkt beispielsweise die Änderung ΔΦ des magnetischen Flusses in einem magnetischen Kreis mit Luftspalt eine Kraftänderung ΔF auf die sich gegenüberstehenden Polflächen. In seinen systemtheoretischen Betrachtungen unterscheidet Lenk ^[9] alleine drei mechanischen Kopplungsprinzipien: das elektromagnetische Prinzip, das elektrodynamische Prinzip und das piezomagnetische Prinzip, für die jeweils eigene Koppelelemente beschrieben werden können.

Analogie zum elektrischen Stromkreis

Die Gesetze des magnetischen Flusses sind analog zu den Gesetzen im elektrischen Stromkreis definiert. Der magnetische Fluss Φ wird hierbei analog zum elektrischen Strom I, die Reluktanz R_m analog zur Resistanz R, und die magnetische Spannung V_m analog zur elektrischen Spannung U betrachtet.

In Analogie zum elektrischen Widerstand kann man im magnetischen Kreis den sogenannten magnetischen Widerstand

$R_m = \frac{V_m}{\Phi}$

definieren.

In vielen magnetischen Materialien ist der magnetische Widerstand näherungsweise konstant. Man spricht in diesem Zusammenhang von dem ohmschen Gesetz des magnetischen Kreises

$\frac{V_m}{\Phi}=konst$.

Die Reluktanz ist über die magnetische Leitfähigkeit und die geometrischen Abmessungen analog zur Resistivität definiert:

$R_m = \frac{l}{\mu\,A} = \frac{1}{G_m}$

In magnetischen Kreisen, die durch konzentrierte Bauelemente beschrieben werden, gelten auch die kirchhoffschen Gesetze:

• $\sum \Phi = 0$
• $\sum V_m = 0$

Über die kirchhoffschen Gesetze können magnetische Kreise berechnet werden.

Gegenüberstellung einiger elektrischer und magnetischer Größen

elektrische Größe		magnetische Größe
elektrische Spannung	U	magnetische Spannung	Vm
elektrischer Strom	I	magnetischer Fluss	Φ
Resistanz (elektrischer Widerstand)	R	Reluktanz (magnetischer Widerstand)	Rm
Konduktivität (elektrische Leitfähigkeit)	γ	Permeabilität (magnetische Leitfähigkeit)	μ
Konduktanz (elektrischer Leitwert)	G	Permeanz (magnetischer Leitwert)	Gm

Beispiele

Magnetischer Kreis mit Luftspalt

Aufbau eines einfachen magnetischen Kreises

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines einfachen magnetischen Kreises. Eine Wicklung mit N Windungen wird von einem elektrischen Strom I durchflossen und erzeugt damit die magnetische Flussdichte B₂. Durch

$\Phi_2 = A_2\,B_2$

erhält man den magnetischen Fluss im Kern der Wicklung. Der Kern dient der gezielten räumlichen Führung des magnetischen Flusses im magnetischen Kreis und wird aus Materialien mit hoher magnetischer Leitfähigkeit, wie beispielsweise als Ferritkern, ausgeführt.

In einem idealen ferromagnetischen Material ohne Streufluss gilt:

Φ₁ = Φ₂ = Φ₃ = Φ₄ = Φ₅

Da es in der Praxis jedoch keine ideal ferromagnetischen Materialien gibt, treten Verluste als Folge des Streuflusses auf. Die genaue Berechnung dieser Streuflüsse ist nur selten analytisch geschlossen zugänglich und sie erfolgt in der Regel über computerunterstützte numerische Näherungsverfahren. In der Praxis werden die Streuverluste an genormten magnetischen Kernen mit Hilfe vorher bestimmter Koeffizienten σ berechnet:

$\Theta = N\,I = \sum_n V_{2,n} = \sum_k{ R_{m,k}\,\Phi_k } = \sum_k{ R_{m,k}\,\frac{\Phi_2}{\sigma_k}}$

wobei V_2,n die magnetische Spannungen der einzelnen Abschnitte darstellen.

Transformator mit zwei Wicklungen

Transformator als Magnetkreis

Im Modell des Magnetkreises ergibt sich der mit der Spannung $\underline U_1$ gespeiste Transformator mit der sekundärseitigen elektrischen Last R_el als ein einfacher Stromkreis, der mit dem magnetischen Fluss

$\underline \Phi = \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}$

gespeist wird.

Die magnetische Spannung ergibt sich entsprechend dem Bauelementegesetz für die magnetische Impedanz $\underline Z_{mag}$ entsprechend zu:

$\underline V_m = \underline Z_{mag} \underline \Phi = j \omega \frac{N_2^2}{R_{el}} \cdot \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}$

Mithilfe der Gleichung $V_m = N_2 \cdot \underline I_2$ kann daraus der elektrische Strom in der Sekundärwicklung berechnet werden

$\underline I_2 = \frac{N_2}{N_1} \frac{\underline U_1}{R_{el}}$,

was den bekannten Transformationsgleichungen für den Transformator entspricht.

Transformator mit zwei parallelen Lastkreisen

Transformator mit zwei parallelen Lastkreisen im Modell des magnetischen Kreises

Die Vorteile bei der Modellierung, die in der Analogie zum elektrischen Stromkreis liegen, ergeben sich erst bei verzweigten Magnetkreisen.

Die Spannungsquelle $\underline U_1$ erzeugt einen magnetischen Fluss

$\underline \Phi_1 = \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}$

der sich entsprechend der Knotenpunktgleichung für den magnetischen Kreis auf die beiden Teilflüsse $\underline \Phi_2$ und $\underline \Phi_3$ aufteilt.

$\underline \Phi_1 = \underline \Phi_2 + \underline \Phi_3$

Die Aufteilung kann mithilfe der Stromteilerregel aus der Wechselstromrechnung berechnet werden. Für die beiden Teilflüsse ergibt sich:

$\underline \Phi_2 = \frac{\underline Z_{mag3}}{\underline Z_{mag2}+\underline Z_{mag3}} \cdot \underline \Phi_1 = \frac{\underline Z_{mag3}}{\underline Z_{mag2}+\underline Z_{mag3}} \cdot \underline \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}$

$\underline \Phi_3 = \frac{\underline Z_{mag2}}{\underline Z_{mag2}+\underline Z_{mag3}} \cdot \underline \Phi_1 = \frac{\underline Z_{mag2}}{\underline Z_{mag2}+\underline Z_{mag3}} \cdot \underline \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}$

Setzt man die Bauelementebeziehungen

$\underline Z_{mag2} = j \omega \frac{N_2^2} {R_{2}}$ und

$\underline Z_{mag3} = j \omega \frac{N_3^2} {R_{3}}$

ein, so ergeben sich daraus die Spannungen und die Ströme in den beiden passiven Wicklungen.

Für die Spannungen gilt:

$\underline U_2 = {j \omega N_2} {\underline \Phi_2} = {j \omega N_2} \cdot \frac{\underline Z_{mag3}}{\underline Z_{mag2}+\underline Z_{mag3}} \cdot \frac{\underline U_1}{j \omega N_1}= \frac{N_2}{N_1} \underline U_1 \cdot \frac{\frac{N_3^2} {R_{3}}}{\frac{N_2^2} {R_{2}}+\frac{N_3^2} {R_{3}}} = \frac{N_2}{N_1} \underline U_1 \cdot \frac{R_2 N_3^2}{R_3 \cdot N_2^2 +R_2 N_3^2}$

und entsprechend

$\underline U_3 = \frac{N_3}{N_1} \underline U_1 \cdot \frac{R_3 N_2^2}{R_3 \cdot N_2^2 +R_2 N_3^2}$

Aufgrund der Parallelschaltung ergeben sich identische magnetische Spannungen an beiden Teilzweigen:

$\underline V_{m2}=\underline V_{m3}=\underline \Phi_1 \cdot \frac{\underline Z_{mag2}\cdot \underline Z_{mag3}}{\underline Z_{mag2}+ \underline Z_{mag3}} = \frac{\underline U_1}{j \omega N_1} \cdot \frac{j \omega \frac{N_2^2}{R_2} \cdot \frac{N_3^2}{R_3}}{\frac{N_2^2}{R_2}+\frac{N_3^2}{R_3}} = \frac{\underline U_1}{N_1} \cdot \frac{\frac{N_2^2}{R_2} \cdot \frac{N_3^2}{R_3}}{\frac{N_2^2}{R_2}+\frac{N_3^2}{R_3}} = \frac{\underline U_1}{N_1} \frac{N_2^2 N_3^2}{N_2^2 R_3 + N_3^2 \cdot R_2}$

Somit ergibt sich mithilfe von $V_m=\Theta=N \cdot I$ für die Ströme:

$\underline I_2 = \frac{\underline U_1}{N_1 N_2} \frac{N_2^2 N_3^2}{N_2^2 R_3 + N_3^2 \cdot R_2}$

$\underline I_3 = \frac{\underline U_1}{N_1 N_3} \frac{N_2^2 N_3^2}{N_2^2 R_3 + N_3^2 \cdot R_2}$

Einzelnachweise

1. ↑ Siegfried Altmann, Detlef Schlayer: Lehr- und Übungsbuch Elektrotechnik, Hanser-Verlag, ISBN 978-3-446-41426-6, Link
2. ↑ A. Lenk, G. Pfeiffer, R. Werthschützky: Elektromechanische Systeme; New York, 2001, Springer, ISBN-3-540-67941-3
3. ↑ Paul Dobrinski, Gunter Krakau, Anselm Vogel: Physik für Ingenieure, Teubner-Verlag, 11. Auflage, 2007, ISBN 978-3-83510020-6, Seite 304, Link
4. ↑ Marlene Marinescu: Elektrische und magnetische Felder - Eine praxisorientierte Einführung, 2009, Springer, ISBN 978-3-54089696-8, S. 173, Link
5. ↑ Marlene Marinescu: Elektrische und magnetische Felder - Eine praxisorientierte Einführung, 2009, Springer, ISBN 978-3-54089696-8, S. 218, Link
6. ↑ Küpfmüller, Mathis, Reibiger: Theoretische Elektrotechnik, Kapitel 5.5 Link
7. ↑ A. Lenk, G. Pfeiffer, R. Werthschützky: Elektromechanische Systeme; New York, 2001, Springer, ISBN 3-540-67941-3.
8. ↑ Roland Süße, Peter Burger, Ute Diemar, und Eberhard Kallenbach: Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik 2, Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-51900525-4, S.484, Link
9. ↑ A. Lenk, G. Pfeiffer, R. Werthschützky: Elektromechanische Systeme; New York, 2001, Springer, ISBN 3-540-67941-3, Link

Fachliteratur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4
• Hans Fischer: Werkstoffe in der Elektrotechnik. 2. Auflage, Carl Hanser Verlag, München Wien, 1982 ISBN 3-446-13553-7
• Prof. Dr. Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18.Auflage, Verlag - Europa - Lehrmittel, Wuppertal, 1989, ISBN 3-8085-3018-9