Teichmüller-Raum

In der Funktionentheorie bezeichnet der Teichmüller-Raum (nach Oswald Teichmüller) einen Raum von Äquivalenzklassen kompakter Riemannscher Flächen und ermöglicht so eine Klassifikation aller kompakten Riemannschen Flächen.

Definition und Satz

Sei (X,g) eine kompakte Riemannsche Fläche mit zugrunde liegender topologische Fläche vom Geschlecht $p \in \mathbb{N}_0$ und mit konformer Struktur g. Zwei Strukturen (X,g₁),(X,g₂) auf der gleichen Fläche werden als äquivalent bezeichnet, wenn es einen konformen Diffeomorphismus $f : X \to X$ gibt, der homotop zur Identität ist. Der Raum all dieser Äquivalenzklassen von Riemannschen Flächen zum Geschlecht $p \in \N_0$ heißt Teichmüller-Raum und wird mit $\mathcal{T}_p(X)$ bezeichnet.

Nach einem Satz von Teichmüller ist $\mathcal{T}_p(X)$, versehen mit einer passenden Struktur einer Mannigfaltigkeit, für jede konforme Struktur g diffeomorph zum endlich-dimensionalen Vektorraum der quadratischen Differentialformen Q_g(X) auf X, dessen Dimension sich folgendermaßen berechnet:

• $\mathrm{dim}_{\mathbb{C}} \; Q_g(X) = 0$, falls p = 0
• $\mathrm{dim}_{\mathbb{C}} \; Q_g(X) = 1$, falls p = 1
• $\mathrm{dim}_{\mathbb{C}} \; Q_g(X) = 3p-3$, falls $p \geq 2$

Eine Abbildung zwischen Riemannschen Flächen ist genau dann holomorph, wenn sie konform (winkeltreu) und orientierungserhaltend ist. Somit lässt sich aus der Klassifikation der konformen Strukturen auch die Klassifikation der komplexen Strukturen gewinnen.

Motivation

• Für eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht $p \geq 2$ gibt es eine natürliche bijektive Beziehung zwischen den konformen Strukturen und den hyperbolischen Metriken, die auf dieser Fläche definiert werden können. Somit lässt sich das Problem der möglichen konformen Strukturen auf eine geometrisch-analytische Frage der Metrik zurückführen. Die hyperbolischen Metriken werden von der universellen Überlagerung durch die hyperbolische Halbebene $\mathbb{H}$ induziert.

• Der Raum aller Äquivalenzklassen von möglichen konformen Strukturen $\mathcal{M}_p(X)$ auf einer Fläche X vom Geschlecht p verfügt über eine komplizierte Topologie und ist keine Mannigfaltigkeit; wobei zwei Strukturen (X,g₁),(X,g₂) als äquivalent gelten, wenn eine konforme Abbildung dazwischen existiert. Das motiviert die schwächere Äquivalenzrelation des Teichmüller-Raumes.

• Es gibt für jede konforme Struktur g eine bijektive Abbildung $q_g : \mathcal{T}_p(X) \to Q_g(X)$ in den Raum der quadratischen Differentialformen Q_g(X) auf (X,g), welcher offensichtlich einen Vektorraum bildet, der überdies endlich-dimensional ist. Dadurch wird schließlich eine Differenzierbarkeitsstruktur auf $\mathcal{T}_p(X)$ definiert und $\mathcal{T}_p(X)$ ist diffeomorph zu einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Dieser letzte Schritt ist im Wesentlichen der oben formulierte Satz von Teichmüller.

Literatur

• Jürgen Jost: Compact Riemann Surfaces. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-33065-8