Koprodukt

Koprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Begriff des Koproduktes eine Verallgemeinerung der so genannten disjunkten Vereinigung von Mengen.

Definition

Diagramm zum Koprodukt

Sind Xj Objekte einer Kategorie C, so heißt ein Objekt X zusammen mit Morphismen i_j: X_j \rightarrow X Koprodukt der Xj, geschrieben

\coprod X_j,

falls die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes Objekt Y von C und Morphismen f_j: X_j \rightarrow Y gibt es genau einen Morphismus f:X \rightarrow Y, so dass f_j=f\circ i_j für alle j gilt.

Äquivalent dazu kann man fordern, dass

\mathrm{Mor}_C(\coprod X_j,Y)=\prod\mathrm{Mor}_C(X_j,Y)

gilt; dabei vermitteln die ij die natürliche Äquivalenz.

Beispiele

Kategorie Koprodukt
Mengen disjunkte Vereinigung
Gruppen freies Produkt
Vektorräume direkte Summe
abelsche Gruppen
Moduln über einem Ring
topologischen Räume disjunkte Vereinigung mit der offensichtlichen Topologie
kommutative Ringe mit Einselement Tensorprodukt

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