Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nicht-trivialen Gewichtsfunktion (englisch baric, von griechisch βάρος, báros, „schwer, gewichtig“). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

Definition

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra A über einem Körper K heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus $w:A\longrightarrow K$ gibt. w wird Gewichtsfunktion genannt, w(x) heißt Gewicht von $x \in A$.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

Charakterisierungen

• Eine nicht-assoziative k-Algebra A ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal $I \subset A$ gibt, so dass $A/I \cong k$
• Eine nicht-assoziative n-dimensionale $\mathbb{R}$-Algebra A ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen $u_1, u_2, \dots, u_k$ besteht eine Beziehung $u_i \cdot u_j = \sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} u_k$ mit Koeffizienten $\gamma_{ijk} \in \mathbb{R}$, für welche gilt: $\sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} = 1, \; \gamma_{ijk} \geq 0$.
• Eine nicht-assoziative n-dimensionale $\mathbb{R}$-Algebra A ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein (n − 1)-dimensionales Ideal $N \subset A$ gibt, für das gilt: $A^{\rm 2} \nsubseteq N$.

Beispiele

• $\mathbb{R}^3$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative $\mathbb{R}$-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu $\mathbb{R}$ isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
• $\mathbb{R}^2$ mit zwei Basisvektoren e₁,e₂, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

$e_1 \cdot e_1 = e_2, \; e_1 \cdot e_2 = e_1, \; e_2 \cdot e_1 = e_2, \; e_2 \cdot e_2 = e_1$.

Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:

$(e_1 \cdot e_2) \cdot e_2 \neq e_1 \cdot (e_2 \cdot e_2)$.

Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist w(α₁e₁ + α₂e₂) = α₁ + α₂.

• Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

$\mathbb{R}^2$ mit zwei Basisvektoren a₁,a₂ und folgender Multiplikationstafel:

.	a1	a2
a1	a1	${1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2$
a2	${1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2$	a2

ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion w(α₁a₁ + α₂a₂) = α₁ + α₂.

Literatur

• Rudolf Lidl und Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980 ISBN 3-400-00371-9
• Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980 ISBN 3-540-09978-6.
• I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. Proc. Roy. Soc. Edinburgh 59, 242–258, 1939