Tschebyschow-Polynom

Tschebyschow-Polynome, benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev bezeichnet, sind in der Mathematik rekursive Polynome. Es wird zwischen Tschebyschow-Polynomen erster Art T_n(x) und Tschebyschow-Polynomen zweiter Art U_n(x) unterschieden.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$\left(1-x^2\right)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0,$

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

$\left(1-x^2\right)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0.$

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art

Die Funktionen

$y_g(x) = 1 + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k\right)^2-n^2\right)}{(2p)!} x^{2p} = 1 + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k\right)^2\right)}{(2p)!} x^{2p} = 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + {n^2 \, \left(n^2-4\right) \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, \left(n^2-16\right) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots$

und

$y_u(x) = x + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k+1\right)^2-n^2\right)}{(2p+1)!} x^{2p+1} = x + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k+1\right)^2\right)}{\left(2p+1\right)!} x^{2p+1} = x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {\left(n^2-1\right) \, \left(n^2-9\right) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots$

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5.

Für ganzzahlige n brechen diese Reihen nach endlich vielen Gliedern ab. y_g(x) bricht für gerade und y_u(x) für ungerade n ab, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung T_n(1) = 1 werden diese als Tschebyschow-Polynome T_n(x) bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

$\begin{align} T_0(x)&=1 \\ T_1(x)&=x \\ T_2(x)&=2 x^2 - 1 \\ T_3(x)&=4 x^3 - 3 x\\ T_4(x)&=8 x^4 - 8 x^2 + 1\\ T_5(x)&=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x\\ T_6(x)&=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1 \end{align}$

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

$T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x)-T_{n-1} (x)$

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

$T_n(x)=\cos\left(n \, \arccos x\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \in [-1,1]$

$T_n(x)=\cosh\left(n \, {\rm arcosh}(x) \right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad |x| > 1$

oder

$T_n(\cos \theta)=\,\!\cos(n \theta)$

Die n Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms T_n(x) sind gegeben durch

$\cos\left(\tfrac{2j+1}{2n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 0, \ldots, n-1$

Tschebyschow-Polynome T_n(x) sind im offenen Intervall (−1,1) orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

$\left(f,g\right)=\int_{-1}^1f(x)\cdot \overline{g(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art

Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5.

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art U_n(x) werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

$\begin{align} U_0(x) & = 1 \\ U_1(x) & = 2x \\ U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x) \end{align}$

Die erzeugende Funktion für U_n ist:

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}$

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

$\begin{align} U_0(x) &= 1 \\ U_1(x) &= 2x \\ U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\ U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\ U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\ U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\ U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\ U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \end{align}$

Tschebyschow-Polynome U_n(x) sind im abgeschlossenen Intervall [−1,1] orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

$\left(f,g\right)=\int_{-1}^1f(x)\cdot \overline{g(x)}\cdot{\sqrt{1-x^2}}dx$

Literatur

• I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2.

Quellen

• Chebyshev Polynomial of the First Kind, MathWorld (engl.)
• Chebyshev Polynomial of the Second Kind, MathWorld (engl.)