Orthogonale Polynome

Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

$P_0(x), P_1(x), P_2(x), \dots$

in einer Unbekannten x, so dass P_n(x) den Grad n hat, die orthogonal bezüglich eines L² Skalarproduktes sind.

Definition

Sei μ ein Borel-Maß auf $\mathbb{R}$ und betrachte den Hilbertraum $L^2(\mathbb{R}, d\mu)$ der bezüglich μ quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

$\langle f, g\rangle = \int_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} g(x) d\mu(x).$

Weiter sei $\textstyle \int_{\mathbb{R}} |x|^n d\mu(x) < \infty$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\mu(\mathbb{R}) =1$ fordern. In einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion w(x) gegeben: dμ(x) = w(x)dx.

Eine Folge von Polynomen P_n, $n\in\mathbb{N}_0$, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls P_n(x) Grad n hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

$\langle P_m, P_n\rangle = 0, \qquad m \neq n.$

Konstruktion

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen xⁿ, $n\in\mathbb{N}_0$, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich die Momente

$m_n = \int_{\mathbb{R}} x^n d\mu(x)$

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben führen wir folgende Konstanten ein:

$h_n = \langle P_n, P_n\rangle = \int_{\mathbb{R}} P_n(x)^2 d\mu(x), \qquad \tilde{h}_n = \langle P_n(x), x\, P_n(x)\rangle = \int_{\mathbb{R}} x\, P_n(x)^2 d\mu(x)$

und

$P_n(x)=k_n x^n+\tilde{k}_n x^{n-1}+\tilde{\tilde{k}}_n x^{n-2}+\cdots.$

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal falls h_n = 1 und als monisch falls k_n = 1.

Rekursionsrelation

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

P_{n + 1}(x) = (A_nx + B_n)P_n(x) − C_nP_{n − 1}(x)

(wobei P _{− 1}(x) = 0 im Fall n = 0 zu setzen ist) mit

$A_n=\frac{k_{n+1}}{k_{n}}, \quad B_n=\left(\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}-\frac{\tilde{k}_n}{k_n}\right)A_n=-\frac{\tilde{h}_n}{h_n}A_n, \quad C_n=\frac{A_n\tilde{\tilde{k}}_n+B_n\tilde{k}_n-\tilde{\tilde{k}}_{n+1}}{k_{n-1}}=\frac{A_n}{A_{n-1}}\frac{h_n}{h_{n-1}},$

und den Konstanten $h_n,k_n,\tilde{k}_n,\tilde{\tilde{k}}_n$ aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

$a_n P_{n+1}(x) + b_n P_n(x) + c_n P_{n-1}(x) = x\, P_n(x)$

mit

$a_n=\frac{k_n}{k_{n+1}}, \quad b_n=\frac{\tilde{k}_n}{k_n}-\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}=\frac{\tilde{h}_n}{h_n}, \quad c_n=\frac{\tilde{\tilde{k}}_n-a_n\tilde{\tilde{k}}_{n+1}-b_n\tilde{k}_n}{k_{n-1}}=a_{n-1}\frac{h_n}{h_{n-1}},$

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, h_n = 1, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation c_n = a_{n − 1} und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß dμ ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor δ_1,n.

Christoffel–Darboux Formel

Es gilt

$\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)P_m(y)}{h_m}=\frac{k_n}{h_n k_{n+1}}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}$

und im Fall x = y erhält man durch Grenzwertbildung

$\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)^2}{h_m}=\frac{k_n}{h_nk_{n+1}}{\left(P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)\right)}.$

Nullstellen

Das Polynom P_n hat genau n Nullstellen, die alle einfach sind um im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von P_n liegen strikt zwischen den Nullstellen von P_{n + 1}.

Liste von orthogonalen Polynomen

• Gegenbauer-Polynom
• Hermitesches Polynom
• Jacobi-Polynom
• Legendre-Polynom
• Laguerre-Polynome
• Tschebyschow-Polynom
• Zernike-Polynom

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Herausg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
• Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.

Weblinks

Orthogonale Polynome in der NIST Digital Library of Mathematical Functions