Tupel

Ein Tupel (Suffix von lat. quintuplus ‚fünffach‘, septuplus ‚siebenfach‘, centuplus ‚hundertfach‘ etc.) ist eine endliche Liste, in der, wenn sie nicht leer ist, hintereinander Angaben nicht notwendigerweise voneinander verschiedener mathematischer Objekte stehen. Ist n die Länge der Liste, dann spricht man von einem n-Tupel; 2-Tupel nennt man auch geordnete Paare, 3-Tupel Tripel und 4-Tupel Quadrupel. Das an i-ter Stelle eines nichtleeren Tupels angegebene Objekt heißt seine i-te Komponente. Notiert wird das leere Tupel oft so: $(\,)$ und ein nichtleeres Tupel so: $(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$, auch mit anderen Klammern, wobei x_i seine i-te Komponente ist.

Tupel sind durch das Gleichheitsaxiom charakterisiert: Zwei Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.^[1]

Darstellung als Menge

Die in der Mengenstruktur einfachste Darstellung von n-Tupeln lautet:^[1]

$n=0:\; () := \emptyset$

$n>0:\; (x_1,\ldots,x_n) := \{(x_1,\ldots,x_{n-1}),\{x_n\}\}$

Mit dieser Darstellung ist das geordnete Paar $\,(x,y)$ die Menge $\{\{\emptyset,\{x\}\},\{y\}\}$.

Die Wirkungsweise dieser Definition lässt sich an folgender Animation nachvollziehen:

Einer anderen Darstellung liegt die Vorstellung zugrunde, dass Tupel endliche Folgen, das heißt Funktionen mit einem eventuell leeren Abschnitt der Menge der positiven natürlicher Zahlen als Indexbereich, sind ^[1] (geordnete Paare hier in eckigen Klammern):

$n=0:\; () := \emptyset$

$n>0:\; (x_1,\ldots,x_n) := \{[1,x_1],\ldots,[n,x_n]\}$

Tupel können auch rekursiv auf Basis geordneter Paare definiert werden^[2][3] (geordnete Paare auch hier in eckigen Klammern):

$n=0:\; () := \emptyset$

$n>0:\; (x_1,\ldots,x_n) := [(x_1,\ldots,x_{n-1}),x_n]$

Unabhängig davon, wie Tupel definiert werden, sind zwei Tupel dann und nur dann gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind. Damit verhalten sich 2-Tupel genauso wie geordnete Paare und können wie diese verwendet werden (auch wenn sich die beiden Definitionen unterscheiden: $\,^{(a,b) \not= [a,b]}$).

Die letzte der drei obigen Definitionen hat den Vorteil, dass sie auch für echte Klassen definiert ist, sofern $\,^{[a,b]}$ für echte Klassen definiert ist (vgl. Geordnetes Paar, Definition von Jürgen Schmidt). Das heißt, man kann z. B. das Monoid der Ordinalzahlen $\,^{\Omega}$ mit Addition $\,^{+}$ und neutralem Element $\,^{0}$ als Tupel $\,^{(\Omega, +, 0)}$ definieren, obwohl es sich bei den Ordinalzahlen um keine Menge, sondern um eine echte Klasse handelt.

Verwendungen

Tupel finden in vielen Bereichen Verwendung, in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in n-dimensionalen Räumen, in der Informatik als Daten-Felder und -Strukturen.

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} V. P. Grishin: Tuple. In: Encyclopaedia of Mathematics. Springer (Online, abgerufen am 24. September 2010).
2. ↑ Nicolas Bourbaki: Eléments de mathématique. Première partie: Les strurures fondamentales de l’analyse.. Livre I. Théorie des ensembles, Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34034-3.
3. ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wiss.-Verl., Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel – Lern- und Lehrmaterialien