Unitäre Transformation

Als unitäre Abbildung (auch unitäre Transformation) bezeichnet man in der Mathematik eine bijektive lineare Abbildung, die längen- und winkelerhaltend ist. Beispiele hierfür sind Drehungen und Spiegelungen. Mathematisch bedeutet dies, dass eine unitäre Abbildung $U:V\to W$ von einem unitären Vektorraum V auf einen anderen unitären Vektorraum W die Norm erhält, dass also für alle $x\in V$ die Bedingung $\|Ux\|_W=\|x\|_V$ gilt. Sie ist daher eine spezielle Form einer isometrischen Abbildung. Die Normerhaltung ist äquivalent zur Invarianz des Skalarprodukts, d. h. $\langle Ux,Uy\rangle_W=\langle x,y\rangle$ für alle $x,y\in V$.

Endlichdimensionale Vektorräume

Unitäre Abbildungen bezüglich des Standardskalarprodukts auf dem $\mathbb{C}^n$ werden durch unitäre Matrizen beschrieben. Unitarität ist dort als

$U^{-1} = \bar{U}^T$

definiert, wobei $\bar{U}^T$ die sogenannte adjungierte Matrix zu U ist, die durch Transposition (Vertauschen von Zeilen und Spalten) sowie komplexe Konjugation der Einträge von U entsteht.

Eine andere Charakterisierung ist die folgende: Eine Abbildung ist genau dann unitär, wenn sie

• als Abbildung zwischen den zugrundeliegenden reellen Vektorräumen orthogonal ist (man beachte, dass die reelle Dimension der Vektorräume doppelt so groß ist wie ihre komplexe Dimension)
• und mit der Multiplikation mit der imaginären Einheit i kommutiert.

Unendlichdimensionale Vektorräume

In unendlichdimensionalen Hilberträumen lassen sich lineare Abbildungen nicht durch Matrizen darstellen. Hier ist die Unitarität einer linearen Abbildung φ durch die Bedingung

φ ^* = φ ^{− 1}

definiert, wobei φ ^* die adjungierte Abbildung zu φ ist.

Darstellung mit selbstadjungierten Operatoren

Im zuletzt genannten Fall gilt aber folgende Darstellung mit selbstadjungierten Operatoren (Stonescher Satz):

Es sei $\hat A$ ein selbstadjungierter Operator, welcher im Intervall $s\in [s_0,s]$ nicht vom Parameter s abhänge. Dann ist die Operatorschar $\hat U(s):=\exp\{ -{\rm i}\cdot (s-s_0)\cdot\hat A\,\}$ unitär. Auf diese Weise erhält man die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik; i ist dabei die imaginäre Einheit. Die Operatoren $\hat U(s)$ können dabei auf dem ganzen Hilbertraum definiert werden, obwohl $\hat A$ nur dicht-definiert sein muss.

Bei Parameterabhängigkeit von $\hat A$ (in der Quantenmechanik z. B. bei expliziter Zeitabhängigkeit des Hamiltonoperators) gilt eine formal ähnliche Aussage (Dyson-Entwicklung):

Zunächst stellt man die Differentialgleichung $\frac{{\rm d}\hat U}{{\rm d}s}=-{\rm i}\hat U(s)$ auf und löst sie iterativ durch folgende formale Reihe:

$\hat U(s)=\sum\limits_{n=0}^\infty\,(-{\rm i})^n\,\int\limits_{s_0}^s{\rm d}s_1\hat A(s_1)\int\limits_{s_0}^{s_1}{\rm d}s_2\hat A(s_2)\, ...\,\int\limits_{s_0}^{s_{n-1}}{\rm d}s_n\hat A(s_n)\,\,.$

Jetzt kann man durch Permutation der Argumente die oberen Integrationsgrenzen einheitlich auf den Wert s erhöhen (z. B. $s_1\to s$), wenn man die dadurch erfolgte Ausdehnung des Integrationsgebietes durch einen Faktor 1 / n! kompensiert und für die Einhaltung der Integrationsordnung sorgt (erstes Integrationsargument größer als das zweite, zweites größer als das dritte, u.s.w.). Auf diese Weise erhält man mit dem Dysonschen Integrationsordnungoperator ${\mathcal T}_s$ die suggestive Formel, dass die folgende Operatorschar unitär ist:

$\hat U(s) := {\mathcal T}_s\,\exp\left\{ {-\rm i}\cdot\int\limits_{s_0}^s{\rm d}s_1\hat A(s_1) \right\}$

Beispiele

• Auf dem Hilbertraum $L^2(\R)$ induzieren die Translationen

$T_a\colon\R\to\R,\quad x\mapsto x+a$

für beliebige $a\in\R$ unitäre Operatoren

$L^2(\R)\to L^2(\R),\quad f\mapsto f\circ T_a.$

• Die im $L^{2}(\R)$ definierte Fourier-Transformation.
• Ein wichtiges Beispiel für unitäre Transformationen sind die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

Zahlenbeispiel für den endlichdimensionalen Fall

Einfache Beispiele für unitäre Abbildungen sind die lineare Abbildungen A bzw. B

$\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2,$

die durch die Matrizen

$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ bzw. $B=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&\mathrm i\end{pmatrix}$

gegeben sind. Explizit sind sie gegeben durch

$A\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_2\\-z_1\end{pmatrix}$ und $B\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm iz_1\\\mathrm iz_2\end{pmatrix}$.

Die Abbildungen erhalten die Norm

$\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}=\sqrt{|z_2|^2+|{-z_1}|^2}=\sqrt{|\mathrm iz_1|^2+|\mathrm iz_2|^2},$

und die zugehörigen Matrizen sind unitär:

$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\bar A^T$ und $B^{-1}=\begin{pmatrix}-\mathrm i&0\\0&-\mathrm i\end{pmatrix}=\bar B^T.$