Versiera der Agnesi

Die Versiera der Agnesi, oder auch Versiera der Maria Agnesi, ist eine spezielle ebene Kurve, eine algebraische Kurve 3. Ordnung vom Geschlecht 0.

Sie ist benannt nach der Mathematikerin Maria Agnesi, die sie 1748 veröffentlichte. Die Kurve wurde bereits 1703 von Pierre de Fermat und Guido Grandi untersucht. Aufgrund eines Übersetzungsfehlers heißt die Kurve im Englischen „witch of Agnesi“. Der Grund: Im Italienischen heißt die Kurve la versiera di Agnesi, was „Die Kurve der Agnesi“ bedeutet. Das wurde vom Cambridge Professor John Colson als „l'awersiera di Agnesi“ gelesen, wobei „awersiera“, was „Frau, die gegen Gott gerichtet ist“ bedeutet, dann als „Hexe“ („witch“) interpretiert wurde, und die Fehlübersetzung setzte sich durch.^[1][2][3]

Konstruktion

Die Versiera der Agnesi mit benannten Punkten

Beginnend mit einem festen Kreis wird ein Punkt O auf dem Kreis gewählt. Für jeden anderen Punkt A auf dem Kreis wird die Sekante OA gezeichnet. Der Punkt M ist diametrisch gegenüberliegend zu O. Die Linie OA schneidet die Tangente in M am Punkt N. Die Linie parallel zu OM durch N, und die Linie rechtwinklig zu OM durch A schneiden sich in P. Wird der Punkt A geändert, so ist der Weg von P die Versiera der Agnesi.

Die Kurve ist asymptotisch zu der Tangente an den Kreis im Punkt O.

Gleichungen der Versiera der Agnesi

Eine Animation, die die Konstruktion der Versiera der Agnesi darstellt

Angenommen, das kartesische Koordinatensystem habe den Ursprung in O, und M liege auf der positiven y-Achse; weiter sei der Durchmesser des Kreises a. Dann ergeben sich folgende Gleichungen der Versiera der Agnesi:

• Kartesische Koordinaten: $(x^2 + a^2) y - a^3 = \, 0$ oder $y = \frac{a^3}{x^2 + a^2}$
• Parametergleichung: $x = a t \; , y = {a\over t^2 + 1}$
• Parametergleichung mit dem Winkel θ, wenn θ der Winkel zwischen OM und OA ist (gemessen im Uhrzeigersinn): $x = a \tan \theta,\ y = a \cos ^2 \theta.\,$
• Parametergleichung mit dem Winkel θ, wenn θ der Winkel zwischen OA und der x-Achse ist, zunehmend im Gegenuhrzeigersinn: $x = a \cot \theta,\ y=a\sin ^2 \theta.\,$

Hierbei ist der Parameter $a \in \mathbb{R}$.

Eigenschaften

Die Versiera der Agnesi mit Parametern a=2, a=4, a=8, und a=16

• Asymptote: y = 0
• Flächeninhalt zwischen Kurve und Asymptote: πa²
• Rotationsvolumen der Kurve um ihre Asymptote: $\frac{1}{2}\pi^2 a^3$
• Krümmungsradius am Scheitelpunkt $(x,\,y) = (0,\, a)$: $R = \frac{a}{2}$.
• Zwei Wendepunkte: $(x,\,y) = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4} \right)$
• Stellt man die Darstellung in kartesischen Koordinaten nach y um, so erhält man $y(x) = \frac{a^3}{x^2 + a^2}.$Damit ist $Y(x) = a^2 \arctan \frac{x}{a}$ eine Stammfunktion von y(x), also Y'(x) = y(x).

Referenzen

1. ↑ Women in Mathematics By Lynn M. Osen (1975) p. 45
2. ↑ "Fermat's Enigma" by Simon Singh p. 100
3. ↑ The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes By David J. Darling (2004) p. 8

Weblinks

• Witch of Agnesi. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Eric W. Weisstein: Witch of Agnesi. In: MathWorld. (englisch)
• DynaGeoX-Applet der Kurve
• The Witch of Agnesi - Mathforum.org Java Applet (englisch)