Voigt-Profil

Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve G(x) mit einer Lorentz-Kurve L(x). Eine oft verwendete Näherung ist die Pseudo-Voigtfunktion.

Mathematische Beschreibung

$V(x) = (G*L)(x) = \int G(\tau)L(x-\tau)d\tau$

$G(x) = \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

$L(x) = \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}.$

σ entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. γ ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische Darstellung

Für das Faltungsintegral V(x) existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der imaginären Fehlerfunktion w(z) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

$V(x) = \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}.$

z ist hier definiert als

$z = \frac{x + i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}.$

Die Breite des Voigt-Profils

Das FWHM des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt ist die Breite des Gauß-Profils:

$f_\mathrm{G} = 2\sigma\sqrt{2\ln(2)}.$

und die Breite des Lorentz-Profils:

$f_\mathrm{L} = 2\gamma\,$

Dann gilt näherungsweise:

$f_\mathrm{V}\approx f_\mathrm{G} \left(1 - c_0 c_1 + \sqrt{\phi^2 + 2 c_1 \phi + c_0^2 c_1^2}\right)$

mit $\phi = \frac{f_\mathrm{L}}{f_\mathrm{G}}$, c₀=2,0056 und c₁=1,0593. Diese Abschätzung hat einen relativen Fehler von etwa 2,4 % für Werte ϕ zwischen 0 und 10. Obige Gleichung liefert für die Grenzwerte $\phi = 0\,$ und $\phi = \infty$ das korrekte Verhalten.

Eine alternative Näherung ist die Formel nach Olivero and Longbothum ^[1].

$f_\mathrm{V}\approx 0{,}5346 f_\mathrm{L} + \sqrt{0{,}2166f_\mathrm{L}^2 + f_\mathrm{G}^2},$

die mit einer Genauigkeit von 0,02 % angegeben ist.

Eigenschaften

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigtfunktion mit einer Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigtfunktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

$f_\mathrm{G}^{2} = \sum_{i}{(f_\mathrm{G}^{2})_{i}}; f_\mathrm{L} = \sum_{i}{(f_\mathrm{L})_{i}}$.

Beispiele

Voigt-Profile

Voigt-Profile in logarithmischer Skala

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung $\gamma/\sigma \gg 1$ ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gausskurve auf. Liegt γ / σ bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauss-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle $\gamma/\sigma \ll 1$ wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauss-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gausskurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall $\gamma/\sigma \gg 1$ entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall γ / σ = 1 oder gar $\gamma/\sigma \ll 1$ setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

Einzelnachweise

1. ↑ Olivero, J. J. ; Longbothum, R. L.: Empirical fits to the Voigt line width: A brief review. In: J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 17 (1977), Nr. 233-236, S. 12–98