Woldsche Zerlegung

Die Woldsche Zerlegung geht auf Herman Wold (1938) zurück und besagt, dass jeder kovarianzstationäre, rein nichtdeterministische stochastische Prozess nach Abzug des Erwartungswertes als eine Linearkombination einer Folge unkorrelierter Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz dargestellt werden kann. Rein nichtdeterministisch bedeutet, dass alle linearen deterministischen Komponenten von x zuvor abgezogen wurden. Eine lineare deterministische Komponente kann aufgrund ihrer eigenen vergangenen Werte perfekt vorhergesagt werden. Dies gilt zum Beispiel für einen konstanten Mittelwert, periodische, polynomiale oder exponentielle Folgen in den Zeitpunkten t. Man kann daher schreiben:

$x_t - \mu_t =\sum_{j=0}^{\infty} \psi_ju_{t-j}\text{ mit }\psi_0=1\text{ und } \sum_{j=0}^{\infty}\psi^2_j < \infty.$

Dabei ist u_t ein reiner Zufallsprozess, das heißt es gilt

$\operatorname{E}(u_t) = 0$ und $\operatorname{E}(u_tu_s) = \begin{cases} \sigma^2 & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad t = s \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$

Die geforderte quadratische Konvergenz der Reihe der ψ_j garantiert die Existenz der zweiten Momente des Prozesses. Für die Gültigkeit dieser Zerlegung müssen keine Verteilungsannahmen getroffen werden und u_t muss nicht unabhängig sein; es genügt Unkorreliertheit.

Für den Erwartungswert erhält man $\operatorname{E}(x_t - \mu_t) = \operatorname{E} \left(\sum_{j=0}^{\infty} \psi_ju_{t-j}\right) = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j\operatorname{E}(u_{t-j})=0$

das heißt es gilt:

$\operatorname{E}(x_t) = \mu_t$

Die Varianz berechnet sich folgendermaßen:

$\operatorname{V}(x_t) = \operatorname{E}[(x_t-\mu_t)^2] = \operatorname{E} [(u_t + \psi_1u_{t-1} + \psi_2u_{t-2} + \cdots)^2]$

Wegen $\operatorname{E}(u_tu_{t-j}) = 0$ für$j \ne 0$ vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$\operatorname{V}(x_t) = \operatorname{E}(u_t^2)+\psi_1^2\operatorname{E}(u_{t-1}^2)+\psi_2^2\operatorname{E}(u_{t-2}^2)+ \cdots = \sigma^2\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j^2$

Die Varianz ist somit endlich und zeitunabhängig. Entsprechend erhält man mit τ > 0 die Autokovarianzen

$\begin{align} & {} \qquad \operatorname{Cov}(x_t,x_{t+\tau}) = \operatorname{E}[(x_t - \mu_t)(x_{t+\tau} - \mu_{t+\tau})] \\ & = \operatorname{E}\left[(u_t + \psi_1u_{t-1} + \cdots + \psi_\tau u_{t-\tau} + \psi_{\tau + 1} u_{t - \tau - 1} + \cdots)\right. \\ & {} \qquad\qquad \left.(u_{t + \tau} + \psi_1u_{t + \tau - 1} + \cdots + \psi_\tau u_t + \psi_{\tau+1} u_{t-1} + \cdots)\right] \\ & = \sigma^2 (\psi_\tau + \psi_1 \psi_{\tau + 1} + \psi_2 \psi_{\tau + 2} + \cdots) \\ & = \sigma^2\sum_{j=0}^\infty \psi_j\psi_{\tau+j} < \infty \end{align}$

mit ψ₀ = 1. Man sieht, dass die Autokovarianzen nur eine Funktion der Zeitdifferenz, das heißt des Abstands zwischen zwei Zufallsvariablen des Prozesses sind. Somit sind alle Bedingungen für die Kovarianzstationarität erfüllt. Die Autokorrelationsfunktion lässt sich wie folgt schreiben:

$\rho(\tau) = \frac{\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \psi_{\tau + j}}{\sum_{j=0}^{\infty} \psi^2_j}\text{ mit }\tau = 1, 2, 3, \dots$

AR- und MA-Prozesse lassen sich in die Woldsche Darstellung bringen. Diese Darstellung ist eher von theoretischem Interesse, denn in praxi sind Modelle mit unendlich vielen Parametern unbrauchbar.

Literatur

• Herman Wold: A Study in the Analysis of Stationary Time Series. In: Almquist und Wicksell. , Stockholm1938.

Siehe auch

• ARMA-Modell