Zentrierte Dreieckszahl

Zentrierte Dreieckszahl
19 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Dreiecke

Eine zentrierte Dreieckszahl ist ein Zahl, die sich nach der Formel

\frac{3n^2 + 3n + 2}{2}

aus einer natürlichen Zahl n berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, … (Folge A005448 in OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit n Schichten wird als n-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

construction

Für n\geq 3 lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinander folgender normaler Dreieckszahlen darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen Dreieckszahl ZDn durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl ZDn − 1.

Die Summe der ersten n Dreieckszahlen ( n\ge 2 ) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n2.

Zentrierte Dreiecksprimzahlen

Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:

19, 31, 109, 199, 409, ... (Folge A125602 in OEIS)

Siehe auch

Quellen


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