Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl N der zu einem Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}

wobei N0 die Anzahl der am Anfang (t = 0) vorhandenen Atomkerne und λ die Zerfallskonstante ist.

Inhaltsverzeichnis

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich N0 Atomkernen und der Aktivität A, und bezeichnet die "Geschwindigkeit" der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ (Lambda), so gilt für die Anzahl N der in der Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne:

A = - \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} \qquad \text{mit} \qquad A = \lambda \cdot N
-\lambda \cdot N = \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}
-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac{1}{N} \cdot \mathrm d N
\int_0^t -\lambda \cdot \mathrm dt'=\int_{N_0}^N\frac{1}{N'} \cdot \mathrm dN'
-\lambda t =\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)
e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_0}

N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Nach der Zeit t sind also von N0 Ausgangskernen noch N(t) übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante λ (Lambda) ist zugleich das Reziproke der mittleren Lebensdauer τ = 1 / λ, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor e = 2,71828... verringert hat. τ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit T1 / 2 nur um den konstanten Faktor ln 2:

T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0,693 \cdot \tau

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

 N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}

Siehe auch

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