Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl N der zu einem Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

$N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

wobei N₀ die Anzahl der am Anfang (t = 0) vorhandenen Atomkerne und λ die Zerfallskonstante ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich N₀ Atomkernen und der Aktivität A, und bezeichnet die "Geschwindigkeit" der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ (Lambda), so gilt für die Anzahl N der in der Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne:

$A = - \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} \qquad \text{mit} \qquad A = \lambda \cdot N$

$-\lambda \cdot N = \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}$

$-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac{1}{N} \cdot \mathrm d N$

$\int_0^t -\lambda \cdot \mathrm dt'=\int_{N_0}^N\frac{1}{N'} \cdot \mathrm dN'$

$-\lambda t =\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)$

$e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_0}$

$N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

Nach der Zeit t sind also von N₀ Ausgangskernen noch N(t) übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante λ (Lambda) ist zugleich das Reziproke der mittleren Lebensdauer τ = 1 / λ, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor e = 2,71828... verringert hat. τ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit T_{1 / 2} nur um den konstanten Faktor ln 2:

$T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0,693 \cdot \tau$

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Siehe auch

• Halbwertszeit

Weblinks

• Java-Animation des Zerfallsgesetzes