Zinscap und Zinsfloor

Zinscaps und Zinsfloors sind Zinsderivate mit optionalem Charakter. Bei einem Zinscap erhält der Käufer am Ende jeder Periode, in der der vereinbarte Referenz-Zinssatz über dem vereinbarten Basiswert liegt, eine Zahlung. Bei einem Zinsfloor erhält der Käufer am Ende jeder Periode, in der der vereinbarte Referenz-Zinssatz unter dem vereinbarten Basiswert liegt, eine Zahlung.

Funktionsweise

Bei Abschluss eines Caps oder Floors werden zwischen den beiden Vertragsparteien insbesondere die folgende Punkte vereinbart

• die Laufzeit des Vertrages
• den Nominalwert des Geschäfts
• der Basiswert. Dies ist im Allgemeinen ein liquider Geldmarktsatz. Üblich sind hier zum Beispiel für den Euro Euribor und für USD Libor Sätze.
• der Ausübungspreis. Dieser wird bei Caps Caprate und bei Floors Floorrate genannt.
• die Länge der Zinsanpassungsperioden. Die oft mehrjährige Laufzeit des Vertrages wird in einzelne Zinsanpassungsperioden, Caplets beziehungsweise Floorlets genannt, unterteilt, die gewöhnlich drei bis zwölf Monate lang sind. Jedem Cap- oder Floorlet wird ein Datum des Fixing sowie ein Datum der Zahlung zugeordnet. Üblicherweise ist das Datum des Fixing ein paar Tage vor Beginn eines Cap- oder Floorlets und das Datum der Zahlung der letzte Tag eines Cap- oder Floorlets.

Jeweils am Datum des Fixings wird der aktuelle Wert des entsprechenden Geldmarktsatzes bestimmt (Fixing) und je nach Ausprägung des Caps oder Floors bestimmt, ob und in welcher Höhe eine Zahlung erfolgt.

Das Nominal des Caps oder Floors wird mit N, die Caprate mit r^cap, die Floorrate mit r^floor bezeichnet. Der am Markt beobachtete Zinssatz wird mit r^fixing bezeichnet, der Bruch aus Länge der aktuellen Zinsperiode in Tagen und Anzahl der Tage eines Jahres mit α. Die Zahlung des Caps sei P^cap, die des Floors P^floor

Unter anderem gibt es die folgenden Ausprägungen von Caps und Floors.

Plain Vanilla

Überschreitet der beobachtete Geldmarktsatz die Caprate, so zahlt der Cap am Datum der Zahlung das Produkt aus Nominalwert und Differenz zwischen Geldmarktsatz und Caprate. Umgekehrt zahlt ein Floor das Produkt aus Nominalwert und Differenz zwischen Floorrate und Geldmarktsatz.

• Auszahlungsfunktion Cap: $P^{cap}= N\cdot\alpha\cdot\max(r^{fixing}-r^{cap},0)$
• Auszahlungsfunktion Floor: $P^{floor}= N\cdot\alpha\cdot\max(r^{floor}-r^{fixing},0)$

Cap und Floor mit in Arrear Fixing

Diese Ausprägung unterscheidet sich von der Plain Vanilla Ausprägung dadurch, dass das Datum des Fixings nicht ein paar Tage vor Beginn der Zinsperiode sondern ein paar Tage vor Ende der Zinsperiode liegt.

Digitaler Cap und digitaler Floor

Überschreitet das Fixing die Caprate, so zahlt der Cap unabhängig von der Höhe der Überschreitung einen festen Betrag d. Analog wird bei einem Floor ebenfalls ein fester Betrag gezahlt, sofern das Fixing unter der Floorrate lag.

Cap und Floor mit Index-Faktor

Zusätzlich zu den oben beschriebenen vertraglich fixierten Punkten wird ein Index-Faktor i > 0 vereinbart. Überschreitet das i-fache des beobachteten Geldmarktsatzes die Caprate, so zahlt der Cap am Datum der Zahlung das Produkt aus Nominalwert und Differenz aus dem i-fachen des Geldmarktsatz und der Caprate. Umgekehrt zahlt ein Floor das Produkt aus Nominalwert und Differenz der Floorrate und dem i-fachen des Geldmarktsatz und Geldmarktsatz.

• Auszahlungsfunktion Cap: $P^{cap}= N\cdot\alpha\cdot\max(i\cdot r^{fixing}-r^{cap},0)$
• Auszahlungsfunktion Floor: $P^{floor}= N\cdot\alpha\cdot\max(r^{floor}-i\cdot r^{fixing},0)$

Collar

Ein Collar ist die Kombination der Auszahlungsprofile aus einem Cap und einem Floor. Er entspricht dem Kauf eines Caps und dem Verkauf eines Floors mit r^cap > r^floor. An den Käufer eines Collar wird somit gezahlt, sofern das Zinsfixing über der Caprate liegt. Liegt das Fixing unter der Floorrate, so zahlt der Käufer.

• Auszahlungsfunktion Collar: $P^{collar}= \begin{cases} N\cdot\alpha\cdot (r^{fixing}-r^{cap}) & \text{wenn } r^{cap}<r^{fixing}\\ 0 &\text{wenn }r^{floor}< r^{fixing}< r^{cap}\\ - N\cdot\alpha\cdot (r^{floor}-r^{fixing})&\text{wenn } r^{fixing}<r^{floor} \\ \end{cases}$

Beispiel

Wurden zum Beispiel Zinscaps für den Gegenwert von 100.000 Schweizer Franken mit einem Höchstzinssatz von 3,5 % pro Jahr gekauft und erreicht der zugrunde gelegte Zinssatz in der Währung Schweizer Franken 4 % pro Jahr, so wird die Differenz von 0,5 % des Gegenwerts von 100.000 (500 Franken) pro Jahr gutgeschrieben.

Mit Hilfe von Caps können die Zinsen für eine variabel verzinsliche Anleihe bis zu einem Höchstbetrag fixiert werden. Wird der Höchstbetrag des Zinssatzes überschritten, erfolgt durch den Cap eine Auszahlung in Höhe der Differenz zwischen dem tatsächlichen Zinssatz und der Obergrenze. Auch werden häufig Darlehen mit einer variablen Verzinsung mit einem Cap als sogenannte Cap-Darlehen vertrieben.

Ähnlich kann auch der Fixed Receiver eines Zinsswaps seine Zahlungen nach oben begrenzen.

Bewertung

Die Bewertung wird an einem Cap diskutiert. Die Bewertung eines Floors lässt sich hieraus ableiten.

Ein Caplet ist eine Option auf einen Swap, eine Swaption, mit nur einer Zinsperiode. Da die einzelnen Caplets unabhängig voneinander sind kann jedes Caplet einzeln bewertet werden. Der Barwert des Caps entspricht dann der Summe der Barwerte der einzelnen Caplets.

Black

Die übliche Bewertung für Caps erfolgt über das Modell von Fischer Black. Annahme des Modells ist, dass der zugrunde liegende Zins log-normalverteilt mit Volatilität σ ist. In diesem Modell hat das Caplet auf einen Euribor-Zinssatz, welcher zum Zeitpunkt t gefixt wird und zum Zeitpunkt T zahlt

$V = P(0,T)\left(F N(d_1) - r^{cap} N(d_2)\right),$

mit

P(0,T) ist der Diskontfaktor vonT auf heute.

F ist der Forward Zinssatz. F entspricht somit ${1\over \alpha }\left(\frac{P(0,t)}{P(0,T)} - 1\right)$

$d_1 = \frac{\ln(F/r^{cap}) + 0.5 \sigma^2t}{\sigma\sqrt{t}}$

und

$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{t}$

Es existiert somit eine Äquivalenzrelation zwischen der Volatilität und dem Barwert des Cap. Weil alle anderen Variablen unstritte Werte enthalten, macht es somit keinen Unterschied, ob der Preis eines Caps oder die Volatilität genannt wird. Entsprechend wird am Markt nicht über den Preis der Caps und Floors verhandelt, sondern über die Volatilität. Diese Volatitlität wird auch Black Vola oder Implizite Volatilität genannt.

Bond Put

Es kann gezeigt werden, dass eine Caplet einer Bondoption ähnelt, sodass auch eine Bewertung über Bondoptionen möglich ist.

Literatur

• John C. Hull: Optionen, Futures und andere Derivate. 6. Auflage. Pearson Studium, München u. a. 2006, ISBN 3-8273-7142-2, S. 740f. (Wirtschaft. BWL, Börse & Finanzen).