- Zwischenwertsatz
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In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.
Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Haben insbesondere f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von f im abgeschlossenen Intervall [a,b]. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.
ZwischenwertsatzInhaltsverzeichnis
Satz
Es sei
eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem
(falls
) bzw.
(falls
) ein
mit
.
Beweis
Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass f(a) < f(b) gilt und es sei
.
Die Funktion
ist stetig auf [a,b] und es gilt
sowie
. Es wird ein Punkt
mit
konstruiert, für diesen gilt dann
.
Wir bilden eine Intervallschachtelung
mit a1: = a,b1: = b und
Falls
ist, ist
der gesuchte Punkt.
Andernfalls gilt nach dem Intervallschachtelungsprinzip
für eine Zahl
, für den die gesuchte Eigenschaft g(c) = 0 gilt.
Offensichtlich ist ak monoton steigend und nach oben beschränkt und bk monoton fallend und nach unten beschränkt, so dass die Grenzwerte beider Folgen existieren. Nach der Konstruktion der Intervallschachtelung ist
und
.
Aus der Stetigkeit von g im Punkt c folgt
und
.
Wegen
für alle
gilt auch
, und wegen
folgt analog
. Damit ist g(c) = 0 bewiesen.
Beispiel
Die Kosinus-Funktion
ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist
und
. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat.
Verallgemeinerung
Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.
Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d.h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).
Literatur
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2
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