Intervallschachtelung

Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der Numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren.

Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren^[1].

Grundideen in Form des Arguments der vollständigen Teilung finden sich bereits bei Zenon von Elea und Aristoteles.

Definition

die ersten 4 Glieder einer Intervallschachtelung

Seien (a_n),(b_n) rationale oder reelle Zahlenfolgen, $(a_n)\;$ monoton wachsend und $(b_n)\;$ monoton fallend, $a_n \le b_n\;$ für alle $n \in \mathbb{N}\;$, und bilden die Differenzen d_n = b_n − a_n eine Nullfolge, also

$\lim_{n \to \infty}(b_n-a_n) = 0\;$,

dann wird die Folge $(J_n)_{n\in\N}$ oder auch $\left(a_n|b_n\right)_{n\in\N}$der Intervalle J_n: = [a_n,b_n] als Intervallschachtelung bezeichnet.^[2].

Konstruktion der reellen Zahlen

Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl s gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also $a_n\le s \le b_n$ für alle $n\in\N$ erfüllt.^[3]

Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl s enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also σ: = (J_n).^[4]

Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen: $\left(a_n|b_n\right)=\left(a'_n|b'_n\right)$ genau dann wenn stets $a_n\le b'_n$ und $a'_n\le b_n$.^[5].

Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als

$\left(a_n|b_n\right)+\left(a'_n|b'_n\right)=\left(a_n+a'_n|b_n+b'_n\right)$

definiert.^[6].

Dieses so definierte System hat nun die gewünschten Eigenschaften, insbesondere gilt nun, dass jede beliebige Intervallschachtelung reeller Zahlen genau eine reelle Zahl enthält.^[7].

Intervallschachtelungen sind aber nicht die einzige Möglichkeit zur Konstruktion der reellen Zahlen; insbesondere ist die Konstruktion als Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen weiter verbreitet. Weiterhin gibt es noch die Methode der Dedekindschen Schnitte.

Weitere Anwendungen

• Der Zwischenwertsatz von Bolzano lässt sich mit dem Intervallschachtelungsprinzip beweisen, aus ihm leitet sich der Fixpunktsatz von Brouwer ab.
• Die Bisektion ist ein numerisches Verfahren, das auf der Intervallschachtelung basiert.

Einzelnachweise

1. ↑ Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.
2. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 21, Definition 11
3. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 22, Satz 12
4. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 27, Definition 13
5. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 29, Definition 14B
6. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 31, Definition 16
7. ↑ Konrad Knopp. ebenda, S 41, Satz 4