Irrationale Zahlen

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Eine irrationale Zahl ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kein Verhältnis von ganzen Zahlen ist. Der Begriff „Ratio“ bedeutet also „Verhältnis“, nicht „Vernunft“, wie es im alltäglichen Sprachgebrauch heißt.

Definition

Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als $\frac{p}{q}$ mit $p, q \in\mathbb{Z}$ und $q\neq0$).

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

• Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. $\sqrt{2}$ oder $1+\sqrt[3]{5}$) und
• Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).

Den ersten Beweis für irrationale Größenverhältnisse gab es in der griechischen Antike im 5. Jahrhundert v. Chr. bei den Pythagoreern. Definitionen für irrationale Zahlen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.

Entdeckung der Irrationalität

Hat man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und berechnet dessen Diagonale, folgt aus dem Satz des Pythagoras: 1² + 1² = 2 = c². Die positive Lösung c dieser Gleichung bezeichnet man heute mit $\sqrt{2}$. Für griechische Mathematiker stellte sich die Frage, ob sich die Länge dieser Diagonalen exakt durch ein Verhältnis zweier natürlicher Zahlen p und q, also einen Bruch p/q, darstellen lässt. Ein Beweis durch Widerspruch, der auch heute noch in der Schule gelehrt wird, ist uns von Euklid überliefert. Ob die Entdeckung der Irrationalität durch Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes aufs Quadrat erfolgte oder, wie Kurt von Fritz meinte, durch stetige Teilung am Pentagramm, ist unbekannt.^[1]

Die ältere wissenschaftsgeschichtliche Forschung nahm an, dass die Entdeckung der Irrationalität zu einer "Grundlagenkrise" der damaligen griechischen Mathematik oder der pythagoreischen Zahlenlehre führte. Man sei nämlich vorher von der Grundvoraussetzung ausgegangen, dass alles durch ganzzahlige Zahlverhältnisse ausdrückbar sei, und die Widerlegung dieser Ansicht habe das Weltbild der Pythagoreer erschüttert. Damit wurde eine antike Legende in Zusammenhang gebracht, wonach der Pythagoreer Hippasos von Metapont im 5. Jahrhundert v. Chr. durch die schriftliche Bekanntmachung dieser Entdeckung einen Geheimnisverrat beging und später im Meer ertrank, was als göttliche Strafe gedeutet wurde. Ein Teil der Quellen überliefert, Hippasos selbst habe die Irrationalität entdeckt. Wissenschaftshistoriker gehen heute davon aus, dass es eine solche Krise nicht gegeben hat und die Irrationalität nicht als Geheimnis betrachtet wurde. Eine mögliche Erklärung der Verratslegende ist, dass sie durch ein Missverständnis entstand, weil das griechische Eigenschaftswort, das für „irrational“ (im mathematischen Sinn) verwendet wurde, zugleich die Bedeutungen „unsagbar“ und „geheim“ hatte.^[2] Tatsache ist aber auch, dass sich die griechische Mathematik in der Zeit nach Hippasos grundlegend veränderte.

Zahlen, deren Irrationalität bewiesen ist

• Schon der Pythagoreer Archytas bewies die Irrationalität von $\sqrt{\tfrac{m+1}{m}}$ für natürliche Zahlen m. Der Beweis für den Fall $\sqrt{2}$ ist in Euklids Elementen überliefert (Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln $\sqrt[n]{\tfrac{m+1}{m}}$ bewies.

• Eine weitere wichtige quadratische Irrationalität ist der goldene Schnitt $\varphi = \frac{1+\sqrt5}2$
• Die Eulersche Zahl $e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n$ ist irrational. Dies hat Leonhard Euler 1737 bewiesen. Ihre Transzendenz wurde 1873 durch Charles Hermite bewiesen.

• 1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität der Kreiszahl π, ihre Transzendenz wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann bewiesen.

• Die nichtganzzahligen Nullstellen eines normierten Polynomes $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ sind irrational. Insbesondere sind die Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dots$ irrational.

• Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von

$\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}.$

• e^π ist transzendent.

• $2^{\sqrt2}$ ist transzendent, dies hat Carl Ludwig Siegel bewiesen.

• Die Lemniskatische Konstante $\varpi$ = 2,622057… ist transzendent. (Theodor Schneider, 1937)

Zahlen, deren Irrationalität vermutet wird

Die Irrationalität der Zahlen $\pi+e, \pi-e, \pi\cdot e, \frac{\pi}{e}$ wird vermutet, ist aber noch unbewiesen. Man kann aber leicht sehen, dass mindestens eine von einer beliebigen Paarbildung irrational sein muss. Dies gilt allgemein für zwei beliebige transzendente Zahlen a und b. Hierfür benutzt man die Beziehungen (a+b) + (a−b) = 2a und (a+b)² - (a-b)² = 4ab.

Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Bekannt ist jedoch, dass im Falle der Existenz rationaler Linearkombinationen der Wert $\frac{m}{n}$ einen konstanten Wert annimmt. Weiterhin ist unbekannt, ob 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind. Es erscheint jedoch sinnvoll, dies zu vermuten.

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Das heißt, dass es keine Möglichkeit gibt, jeder irrationalen Zahl eine natürliche Zahl zuzuordnen. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.

Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ bewiesen. Da $\mathbb{R}$ sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die Menge der rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich ist, muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

Cantor hat weiter gezeigt, dass auch die Menge der algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar ist. Darüber hinaus gilt auch, dass die algebraische Hülle jeder abzählbaren Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen (solche Mengen können insbesondere auch aus transzendenten Zahlen bestehen) ebenfalls abzählbar ist, also sicher nicht alle reellen Zahlen enthält!

Einzelnachweise

1. ↑ Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft, Nürnberg 1962, S. 430-440.
2. ↑ Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft, Nürnberg 1962, S. 436f.