Binomialreihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges α liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1 + x)^α mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form (a + b)ⁿ kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckt im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl α und alle reellen $x\in ]-1,\,1[$ das Binom (1 + x)^α darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha, x\in\Bbb C$; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N$ gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei | x | = 1 und $\alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}$.

• Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$ konvergiert genau dann absolut wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann wenn Re(α) > − 1 ist.
• Für x = − 1 konvergiert die Reihe genau dann wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man α = − 1 und ersetzt x durch − x so erhält man $\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k$.

Da ${-1 \choose k}=(-1)^k$ ist lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\sum_{k=0}^\infty x^k$.

Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

$(1+x)^2 = {2 \choose 0}x^0 + {2 \choose 1} x^1 + {2 \choose 2} x^2 = 1 + 2x + x^2$

(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)

$\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty {-1 \choose k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k$

$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty {1/2 \choose k} x^k$

Siehe auch

• Arithmetische Reihe
• Geometrische Reihe
• Binomialkoeffizient