CG-Verfahren

Ein Vergleich des einfachen Gradientenverfahren mit optimaler Schrittlänge (in grün) mit dem CG-Verfahren (in rot) für die Minimierung der quadratischen Form eines gegebenen linearen Gleichungssystems. CG konvergiert nach 2 Schritten, die Größe der Systemmatrix ist m=2).

Das CG-Verfahren (von engl. conjugate gradients oder auch Verfahren der konjugierten Gradienten) ist eine effiziente numerische Methode zur Lösung von großen, symmetrischen, positiv definiten Gleichungssystemen der Form Ax = b. Es gehört zur Klasse der Krylow-Unterraum-Verfahren. Das Verfahren liefert nach spätestens m Schritten die exakte Lösung, wobei m die Dimension der quadratischen Matrix A ist. Insbesondere ist es aber als iteratives Verfahren interessant, da der Fehler monoton fällt.

Es wurde zuerst 1952 von Eduard Stiefel und Magnus Hestenes vorgeschlagen.^[1] Ein für bestimmte Gleichungssysteme äquivalentes Verfahren schlug auch Cornelius Lanczos Anfang der 1950er Jahre mit dem Lanczos-Verfahren vor.

Idee des CG-Verfahrens

Die Idee des CG-Verfahrens besteht darin, dass das Minimieren der quadratischen Form

$E(x):=\frac12\langle Ax,x\rangle - \langle b,x\rangle$

äquivalent zum Lösen von Ax = b ist. Hierbei bezeichnet $\langle \cdot,\cdot \rangle$ das euklidische Skalarprodukt.

Der Gradient von E an der Stelle x_k ist gerade $\left. \nabla E\right|_{x_k}=Ax_k-b:=-r_k$ und somit bei großen, dünn besetzten Matrizen schnell zu berechnen. Die Idee des CG-Verfahrens ist es nun, anstelle in Richtung des Residuums r_k wie beim Verfahren des steilsten Abstiegs in eine andere Richtung d_k die Funktion E über einen Unterraum zu minimieren. Die Richtungen d_k sind dabei alle A-konjugiert, das heißt es gilt

$\langle Ad_i,d_j\rangle=0\qquad\forall i\neq j$.

Die Iterierten x_k des CG-Verfahrens werden dann so gewählt, dass sie das Minimum von E in dem affinen Raum V_k, der durch die Vektoren $d_0,\ldots,d_k$ aufgespannt und um x₀ verschoben wird, bilden:

$V_k:=x_0+\operatorname{span}\{d_0,\ldots,d_{k-1}\}.$

Es lässt sich zeigen, dass ebenfalls gilt:

$V_k = x_0+\operatorname{span}\{r_0, Ar_0\ldots,A^{k-1}r_0\}.$

Der letzte Teil zeigt, dass die Suchrichtungen den Krylow-Unterraum zu A und r₀ aufspannen. Das CG-Verfahren lässt sich deswegen alternativ direkt als Krylow-Unterraum-Verfahren definieren.

Da die Vektoren d_k alle A-konjugiert sind, ist die Dimension von V_k gerade k. Ist also A eine $m\times m$-Matrix, so terminiert das Verfahren nach spätestens m Schritten, falls exakt gerechnet wird. Numerische Fehler können durch weitere Iterationen eliminiert werden. Hierzu betrachtet man den Gradienten r_k, der das Residuum angibt. Unterschreitet die Norm dieses Residuums einen gewissen Schwellenwert, wird das Verfahren abgebrochen.

Das Verfahren baut sukzessive eine A-orthogonale Basis für den $\mathbb R^m$ auf und minimiert in die jeweilige Richtung bestmöglich.

Das Problem bei dem iterativen Verfahren ist das Finden der optimalen Schrittweite. Um die Güte eines Punktes zu bestimmen ist jeweils eine vollständige Matrixmultiplikation notwendig, welche nebenbei gleich einen neuen Gradienten liefert. Ist die Schrittweite entlang eines vorgegebenen Gradienten zu ungenau, entspricht die Methode eher einem einfachen Downhill-Algorithmus.

CG-Verfahren ohne Vorkonditionierung

Zunächst wählt man ein $x_0 \in \mathbb{R}^m$ beliebig und berechnet:

r₀ = b − Ax₀

d₀ = r₀

Für k = 0,1,... führt man aus:

• Finde von x_k in Richtung d_k den Ort x_{k + 1} des Minimums der Funktion E und aktualisiere den Gradienten bzw. das Residuum

$\begin{align} \alpha_k \;&=\; \frac{d_k^T\,r_k} {d_k^T\,A\,d_k}, \\[.2em] x_{k+1} \;&=\; x_k+\alpha_k\,d_k, \\[.4em] r_{k+1} \;&=\; r_k-\alpha_k\,A\,d_k \end{align}$

• Korrigiere die Suchrichtung d_{k + 1} mit Hilfe von d_k und r_{k + 1}

$\begin{align} \beta_k \;&=\; \frac{r_{k+1}^T\,r_{k+1}}{r_k^T\,r_k}, \\[.2em] d_{k+1} \;&=\; r_{k+1}+\beta_k\,d_k, \end{align}$

bis das Residuum in der Norm kleiner als eine Toleranz ist ($\|r_{k+1}\|<\text{tol}$).

Varianten

Es existieren verschiedene Varianten des Verfahrens, neben der ersten von Fletcher und Reeves z. B. von Hestenes und Stiefel, von Davidon, Fletcher und Powell oder von Polak und Ribiere. Diese sind für quadratische Formen (wie oben definiert) identisch, da die weiteren Terme aufgrund der Orthogonalität der Residuen verschwinden. Verwendet man das CG-Verfahren aber, um eine durch eine quadratische Form angenäherte Funktion zu minimieren, so zeigen diese Varianten oft besseres Konvergenzverhalten als die ursprüngliche Formulierung von Fletcher und Reeves.

• $\beta_{k} = \frac{(r_{k+1})^T r_{k+1}}{(r_k)^T r_k}$ (Fletcher-Reeves)
• $\beta_{k} = \frac{(r_{k+1})^T (r_{k+1}-r_k)}{(r_k)^T r_k}$ (Polak-Ribiere)
• $\beta_{k} = \frac{(r_{k+1})^T (r_{k+1}-r_k)}{(d_k)^T (r_{k+1}-r_k)}$ (Hestenes-Stiefel)

CG-Verfahren mit symmetrischer Vorkonditionierung (PCG-Verfahren)

Die Konvergenz des CG-Verfahrens ist nur bei symmetrischen positiv definiten Matrizen gesichert. Dies muss ein Vorkonditionierer berücksichtigen. Bei einer symmetrischen Vorkonditionierung wird das Gleichungssystem Ax = b mit Hilfe einer Vorkonditionierer-Matrix $C=KK^T\approx A^{-1}$ zu K^TAKy = K^Tb mit y = K ^{− 1}x transformiert, und darauf das CG-Verfahren angewandt.

Die Matrix K^TAK ist symmetrisch, da A symmetrisch ist. Sie ist ferner positiv definit, da nach dem Trägheitssatz von Sylvester A und K^TAK die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte besitzen.

Das resultierende Verfahren ist das sogenannte PCG-Verfahren (von engl. Preconditioned Conjugate Gradient):

Zunächst wählt man ein $x_0 \in \mathbb{R}^m$ beliebig und berechnet:

r₀ = b − Ax₀

h₀ = Cr₀

d₀ = h₀

Für k = 0,1,... setzt man:

Finde von x_k in Richtung d_k das Minimum x_{k + 1} und aktualisiere Gradienten und vorkonditionierten Gradienten

$\alpha_k=\frac{\langle r_k, h_k\rangle}{\langle d_k, A d_k\rangle}$

x_{k + 1} = x_k + α_kd_k

r_{k + 1} = r_k − α_kAd_k (Residuum)

h_{k + 1} = Cr_{k + 1}

Korrigiere die Suchrichtung d_{k + 1}

$\beta_k=\frac{\langle r_{k+1}, h_{k+1}\rangle}{\langle r_k, h_k\rangle}$

d_{k + 1} = h_{k + 1} + β_kd_k

bis das Residuum in der Norm kleiner als eine Toleranz ist ($\|r_{k+1}\|<\mbox{tol}$).

Vergleich von ICCG mit CG anhand der 2D-Poisson-Gleichung

Ein häufiger Vorkonditionierer im Zusammenhang mit CG ist die unvollständige Cholesky-Zerlegung. Diese Kombination wird auch als ICCG bezeichnet und wurde in den 1970ern von Meijerink und van der Vorst eingeführt.

Zwei weitere für das PCG-Verfahren zulässige Vorkonditionierer sind der Jacobi-Vorkonditionierer C = D ^{− 1}, wobei D die Hauptdiagonale von A ist, und der SSOR-Vorkonditionierer

$C=\left[ \tfrac{1}{2-\omega} \left(\tfrac{1}{\omega}D+L\right) \left(\tfrac{1}{\omega}D\right)^{-1} \left(\tfrac{1}{\omega}D+L\right)^T \right]^{-1}$

mit $\omega \in (0, \,2)$, wobei D die Hauptdiagonale und L die strikte untere Dreiecksmatrix von A ist.

Konvergenzrate des CG-Verfahrens

Man kann zeigen, dass die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Algorithmus durch

$\|x_k-x\|_A \le 2\left(\frac{\sqrt{\kappa(A)}-1}{\sqrt{\kappa(A)}+1}\right)^k\|x_{0}-x\|_A$

beschrieben wird. Hierbei ist κ(A) die Kondition der Matrix A, sowie $\|x\|_A = \sqrt{x^T A x}$ die Energienorm von A. $\sqrt{\kappa(A)}-1$ ist nicht negativ, da A symmetrisch und positiv definit ist. Ferner ist deswegen die Kondition

$\kappa(A) = \frac{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)}.$

Aus der Minimierungseigenschaft lässt sich ferner herleiten, dass

$\frac{\|x_k-x^*\|_A}{\|x_0-x^*\|_A} \leq \max_{z \in \sigma(A)}|p_k(z)|,$

wobei p_k(z) ein beliebiges Polynom vom Grad 1 ist mit p_k(0) = 1 und x ^* die Lösung. Mit σ(A) ist das Spektrum, also die Menge der Eigenwerte der Matrix A gemeint. Daraus folgt, dass CG ein System zu einer Matrix mit nur k Eigenwerten in k Schritten löst und dass CG für Systeme, bei denen die Eigenwerte in kleinen Umgebungen konzentriert sind, sehr schnell konvergiert. Dies wiederum liefert einen Anhaltspunkt für sinnvolle Vorkonditionierer: Ein Vorkonditionierer ist dann gut, wenn er dafür sorgt, dass die Eigenwerte konzentriert werden.

Erweiterung auf unsymmetrische Matrizen

Ist die Systemmatrix A unsymmetrisch, aber regulär, so kann das CG-Verfahren auf die Normalgleichungen

A^TAx = A^Tb

angewendet werden, da A^TA für eine reguläre Matrix A symmetrisch und positiv definit ist. Dieses Verfahren nennt sich auch CGNR, da bei diesem Vorgehen die Norm des Residuums von b − Ax minimiert wird. Alternativ gibt es das Verfahren CGNE, welches

AA^Ty = b

löst mit x = A^Ty. Hierbei wird der Fehler (Error) minimiert.

Beide Verfahren haben den Nachteil, dass zum einen A^T zur Verfügung stehen muss, was nicht immer gegeben ist, und zum anderen die Kondition von A bei diesem Ansatz quadriert wird, was zur Verlangsamung der Konvergenz führen kann.

Literatur

• C. T. Kelley: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM, ISBN 0-89871-352-8
• P. Knabner, L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer, ISBN 3-540-66231-6
• A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg 1999, ISBN 3-528-03135-2
• William H., Teukolsky, Saul A.:Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-75033-4.
• J. R. Shewchuck: An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain (PDF) (503 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Hestenes, Stiefel: Methods of conjugate gradients for solving linear systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards, Bd. 49, 1952, S.409Online, pdf