Artin-Mazursche Zeta-Funktion

In der Mathematik ist die nach Michael Artin and Barry Mazur benannte Artin-Mazursche Zeta-Funktion ein Hilfsmittel beim Studium iterierter Funktionen in dynamischen Systemen. Sie wird gelegentlich auch als topologische Zeta-Funktion bezeichnet.

Artin und Mazur haben diese Zeta-Funktion im Jahr 1965 eingeführt.^[1] Diese Funktion wurde dann von Smale weiter untersucht und allgemein bekannt gemacht.^[2]

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert:

$\zeta_f(z)=\exp \sum_{n=1}^\infty \textrm{card} \left(\textrm{Fix} (f^n)\right) \frac {z^n}{n},$

Dabei bezeichnet Fix(ƒⁿ) die Menge der Fixpunkte der n-ten Iteration der Funktion ƒ, und card(Fix(ƒⁿ)) die Kardinalität dieser Menge von Fixpunkten. Dabei sind hier nur endliche Kardinalitäten zugelassen.

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion ist eine topologische Invariante, das heißt, sie ist invariant unter topologischen Konjugationen. Damit verbindet sie lokale Eigenschaften der Funktion ƒ mit globalen Eigenschaften der von den diskreten Trajektorien (Orbits) erzeugten Mannigfaltigkeit.

Umfassende Konvergenzuntersuchungen wurden von William Parry und Mark Pollicott durchgeführt.^[3]

Eine Weiterentwicklung der Artin-Mazursche Zeta-Funktion in der Theorie der dynamischen Systeme erfolgte durch David Ruelle, Viviane Baladi und andere zur Ruelleschen Zeta-Funktion und dynamischen Zeta-Funktion.

Weblinks

• John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 216). 2005 (zum Zusammenhang mit anderen Zeta-Funktionen).
• David Ruelle: Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators. 2002 (PDF).
• Predrag Cvitanović et al.: Chaos: Classical and Quantum. 2009. (u. a. Kapitel 15 zur Anwendung in der theoretischen Physik).

Einzelnachweise

1. ↑ Michael Artin, Barry Mazur: On periodic points. In: Annals of Mathematics. 81, 1965, S. 82–99.
2. ↑ Stephen Smale: Differential dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73, 1967, S. 747–817.
3. ↑ William Parry, Mark Pollicott: Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. In: Astérisque. vol. 187-188, 1990, Société Mathématique de France, Paris.