Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder ζ-Funktion in der Mathematik die komplexe Funktion

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}$

gemeint. Heute heißt diese genauer Riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:

• Airysche Zeta-Funktion
• Artin-Mazursche Zeta-Funktion
• Dedekindsche Zeta-Funktion
• Epsteinsche Zeta-Funktion
• Hurwitzsche Zeta-Funktion
• Jakobische Zeta-Funktion
• Lefschetzsche Zeta-Funktion
• Lerchsche Zeta-Funktion
• Ninitsche Zeta-Funktion
• Selbergsche Zeta-Funktion
• Weierstraßsche Zeta-Funktion

Ebenfalls mit der Riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die Dirichlet-L-Reihen, Dirichletsche Eta-Funktion η und die Dirichletsche Beta-Funktion β.

Weblinks

• A Dictionary of All Known Zeta Functions
• Bernhard Schiekel: Zetafunktionen in der Physik - eine Einführung (PDF-Datei; 2.4 MB)