Rang (Statistik)

In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre Position, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet und durchnummeriert werden.

Es ist möglich, daß mindestens zwei Beobachtungen den gleichen Wert haben. Man spricht dann von Bindungen oder Verbundwerten (engl. Ties). Der Rang ist daher nicht wohldefiniert.

In der Stochastik ist der Rang aber fast sicher eindeutig erklärt, falls die einzelnen Beobachtungen stetig verteilt sind. Auf der Auswertung der Ränge innerhalb von Stichproben basiert eine Reihe von statistischen Tests in der parameterfreien Statistik.

Definition

Die Beobachtungswerte werden der Größe nach sortiert. Der kleinste Wert bekommt meistens den Rang 1, der nächstkleinere den Rang 2 usw. ^{[1] [2]} Die übliche Schreibweise ist x_(i) für den Beobachtungswert mit dem Rang i.

Beispiel

Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:

Beobachtungsnummer	1	2	3	4
Beobachtungswert	220	240	220	180
Rang	2 oder 3	4	2 oder 3	1

Also: x₍₄₎ = 240 = x₂, d.h. x₍₄₎ ist der Beobachtungswert mit dem Rang 4 und x₂ der zweite Beobachtungswert in der Datenreihe.

Die Beobachtungen können zu einer Rangliste geordnet werden:

Listenrang	Beobachtungsnummer	Beobachtungswert
1.	4	180
2.- 3.	1	220
"	3	"
4.	2	240

Verfahren bei Bindungen

In der Praxis kann es vorkommen, dass Beobachtungswerte mehrfach auftreten. Verschiedene Verfahren können benutzt werden um eine eindeutige Rangzuordnung zu finden:^[3]

Mittelwert

Den ranggleichen Beobachtungen wird das arithmetische Mittel der auf sie fallenden Ränge zugeordnet.^[1][2]

Beispiel: Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:

Beobachtungsnummer	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Beobachtungswert	125	315	215	105	200	170	170	220	220	220
Rang	2	10	6	1	5	3,5	3,5	8	8	8

• Den Beobachtungswerten 170 müssten die Ränge 3 und 4 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu (3 + 4) / 2 = 3,5.
• Den Beobachtungswerten 220 müssten die Ränge 7, 8 und 9 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu (7 + 8 + 9) / 3 = 8.

Randomisierung

Den ranggleichen Beobachtungswerten wird zufällig einer der Ränge derselben zugeordnet.

A-fortiori-Methode

Im Falle der Durchführung eines Tests wird die Rangfolge so festgelegt, dass die Nullhypothese H₀ begünstigt wird.

Eigenschaften

Die Summe der Ränge einer Datenreihe ist 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2 (Gaußsche Summenformel). Auch bei Bildung des arithmetischen Mittels zur Berechnung der Ränge bei Bindungen bleibt diese Eigenschaft erhalten.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage. Vieweg, 2005, S. 187-188.
2. ↑ ^{a b} Roland Jeske: Spaß mit Statistik. 4. Auflage. Oldenbourg, 2003, S. 172-173.
3. ↑ Jürgen Bortz, Gustav A. Lienert, Klaus Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. 3. Auflage. Springer Verlag, 2008, S. 69-70.

Siehe auch

• Median