Gaußsche Summenformel

Die gaußsche Summenformel, auch kleiner Gauß genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen:

$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.$

Diese Reihe ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe, und ihre Summen 1,3,6,10,... werden Dreieckszahlen genannt.

Veranschaulichung

Man kann die Formel folgendermaßen veranschaulichen: Man schreibt die Zahlen von 1 bis n aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge (im Beispiel n = 11).

 1   2  3  4  5  6  7  8  9  10 11
11  10  9  8  7  6  5  4  3   2  1

Die Summe der Spalten im Beispiel ergibt jeweils den Wert 12. Allgemein ergibt sich ein Wert von n + 1. Da es n Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich $n \cdot (n+1).$ Um die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln, wird das Ergebnis halbiert, und es ergibt sich die obige Formel:

$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n = \tfrac12 \cdot n \cdot (n+1).$

Herkunft der Bezeichnung

Diese Summenformel wie auch die Summenformel für die ersten n Quadratzahlen war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als 9-jähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert: „Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“^[1] Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ und Gauß feststellte, dass die erste und die letzte Zahl (1+100), die zweite und die vorletzte Zahl (2+99) usw. zusammen immer 101 ergeben. Der Wert der gesuchten Summe ergibt sich so zu 101 mal 50.

Entsprechend den damaligen Verhältnissen unterrichtete Büttner etwa 100 Schüler in einer Klasse. Damals waren auch Züchtigungen mit der sogenannten Karwatsche (Lederpeitsche) üblich. Sartorius berichtet: „Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden, während viele der übrigen falsch waren und alsbald mit der Karwatsche rectificirt wurden.“^[2] Büttner erkannte bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Beweis

Für diese Summenformel gibt es zahlreiche Beweise. Neben dem oben vorgeführten Beweis der Vorwärts- und Rückwärts-Summation ist noch das folgende allgemeine Prinzip interessant:^[3]

Um zu beweisen, dass

$\sum_{k=1}^n f(k) = g(n),$

für alle natürlichen n, reicht es aus,

g(n) − g(n − 1) = f(n) für positive n und g(0) = 0

zu zeigen.

In der Tat trifft dies hier zu: $\frac{n(n+1)}2-\frac{(n-1)n}2=\frac{n(n+1-n+1)}2=n$, und $\frac{0\cdot 1}2=0$.

Auch ein Beweis der gaußschen Summenformel mit vollständiger Induktion ist möglich.

Verwandte Summen

Gelegentlich werden auch die Summenformeln für die Summe der geraden bzw. der ungeraden Zahlen benötigt:

$\sum_{k=1}^n 2k = n (n+1)$

$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$

Die erste Formel ergibt sich durch Multiplikation der Grundformel mit 2. Die Summe der ungeraden Zahlen ergibt sich durch Differenz der natürlichen und der geraden:

$\sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=1}^{2n} k - \sum_{k=1}^n 2k = n (2n+1) - n (n+1) = n \cdot n = n^2$

Die ähnlich aussehende Summe der Quadratzahlen

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

wird als Quadratische Pyramidalzahl bezeichnet.

Literatur

• Wolfgang Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss, S. Hirzel, Leipzig 1856 (bei Google Books: [3]; Anekdote auf den Seiten 12 und 13)
• Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Vorgriechische Mathematik. Springer, 1969, S. 172–173
• Brian Hayes: Gauss’s Day of Reckoning, American Scientist 94, Mai/Juni 2006, S. 200–205 (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtnis, 1856, S. 12: [1]
2. ↑ Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtnis, 1856, S. 13: [2]
3. ↑ Marko Petkovsek, Herbert Wilf, Doron Zeilberger: A=B. 1997, S. 10 (http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html).

Weblinks

•  Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks:Gaußsche Summenformel – Lern- und Lehrmaterialien
• Herleitung der gaußschen Summenformel auf zwei Arten einfach erklärt auf YouTube
• Geometrischer Beweis der gaußschen Summenformel auf Vimeo
• Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote