Binäre Zahlen

Definition

Die Binären Zahlen (englisch split-complex numbers oder hyperbolic numbers (zur Begründung s. unten)) bilden eine zweidimensionale hyperkomplexe Algebra über dem Körper $\R$ der reellen Zahlen; wie die Komplexen Zahlen wird diese Algebra von 2 Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit i der Komplexen Zahlen hier mit E bezeichnet wird. Jede Binäre Zahl lässt sich also eindeutig als

z = a + bE

mit a,b ∈ $\R$ darstellen, also als Linearkombination aus 1 und E. Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für Binäre Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch

E² = + 1.

Außerdem ist wie bei den Komplexen Zahlen die zu z konjuguierte Zahl

$\bar{z} = a-bE$

definiert.

Eigenschaften

Wie alle hyperkomplexen Algebren erfüllen auch die Binären Zahlen das rechts- und linksseitige Distributivgesetz. Wie die Komplexen Zahlen sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich E.

$1\cdot E=E\cdot 1=E$

$1\cdot (1\cdot E)=1\cdot E=(1\cdot 1)\cdot E=E$

$1\cdot (E\cdot E)=1\cdot 1=1=E\cdot E=(1\cdot E)\cdot E$

Die Binären Zahlen bilden also einen kommutativen Ring mit Einselement, der aber - im Unterschied zu $\C$ - kein Körper ist, sondern ein Hauptidealring mit zwei Idealen, den reellzahligen Vielfachen von (1 + E) und denen von (1 − E), anschaulich also den durch den Ursprung verlaufenden Diagonalen der Zahlenebene. Hauptideale sind sie, da sie jeweils von einem einzigen Element erzeugt werden. Sie sind sämtlich Nullteiler, denn 0 ergibt sich als Produkt eines beliebigen Elementes des einen Ideals mit einem beliebigen Element des anderen:

$a(1+E)\cdot b(1-E)=ab(1^2 - E^2) = ab(1 - 1) = ab\cdot 0$.

Eine Norm oder ein Betrag ist für Binäre Zahlen nicht definiert, aber dennoch gibt es zwei Eigenschaften, die sich so bei der Multiplikation "weitervererben" wie die Norm bei Komplexen Zahlen oder die Determinante bei Matrizen (im Sinne von "Norm/Determinante des Produktes gleich Produkt der Normen/Determinanten der Faktoren"):

1. Die Summe aus Real- und Nichtrealteil (weil sich E bei Multiplikation wie 1 verhält)
2. Das Produkt einer Zahl z (wie oben) mit ihrer Konjugierten:

$z \bar{z} = (a+bE)(a-bE) = a^2 - b^2E^2 = a^2 - b^2$,

was stets eine reelle Zahl ergibt. Diese ist

1. positiv, falls a > b
2. gleich Null, falls a = b
3. negativ, falls a < b.

Wie alle Komplexen Zahlen mit einem bestimmten Betrag auf einem Kreis liegen, liegen alle Binären Zahlen, deren Produkt mit ihrem Konjugierten einen festen Wert hat, auf einer Hyperbel; deshalb werden sie im Englischen auch "hyperbolic numbers" genannt. Mithin folgen die Binären Zahlen einer Minkowski-Metrik wie Zeit (=Realachse) und Raumrichtung (=Nichtrealachse) in der Speziellen Relativitätstheorie.

Literatur

• I.L. Kantor, A.S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. B.G. Teubner, Leipzig 1978.