Distributivgesetz

Die Distributivgesetze (lat. distribuere „verteilen“), auf deutsch Verteilungsgesetze, sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung verträglich ist mit der anderen Verknüpfung.

Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

Bedeutung

Als Beispiel kann die Verknüpfung der zweistelligen Operationen Multiplikation (⋅) und Addition (+) dienen.

Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

$a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c$ (linksdistributiv)

$\left( a \pm b \right) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c$ (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.

Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die Division, die ja nicht kommutativ ist:

$\left( a \pm b \right) : c = a : c \pm b : c$

Es gilt nicht:

$a : \left( b \pm c \right) = a : b \pm a : c$     !

In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:

$\text{ sei } a = m \cdot c \text{ und } b = n \cdot c$

$\left( a \pm b \right) : c = c \cdot \left( m \pm n \right) : c = m \pm n$

Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation.

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

Anmerkung

Bei Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet. Wenn man beispielsweise 6·16 im Kopf berechnet, multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse.

Beispiele

Reelle Zahlen

In den folgenden Beispielen wird die Verwendung des Distributivgesetzes auf der Menge der reellen Zahlen $\R$ illustriert. In der Schulmathematik spricht man bei diesen Beispielen meist von Ausmultiplizieren. Aus der Sicht der Algebra bilden die reellen Zahlen einen Körper, was die Gültigkeit des Distributivgesetzes sichert.

Erstes Beispiel (Kopfrechenbeispiel)

$6 \cdot 16 = 6 \cdot (10+6) = 6\cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60+36 = 96$

Zweites Beispiel (mit Variablen)

$3a^2b \cdot (4a - 5b) = 3a^2b \cdot 4a - 3a^2b \cdot 5b = 12a^3b - 15a^2b^2$

Drittes Beispiel (mit zwei Summen)

$\begin{align} (a + b) \cdot (a - b) & = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \\ & = (a + b) \cdot a - (a + b) \cdot b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2 \end{align}$

Hier wurde das Distributivgesetzt zweimal angewandt und das Ergebnis zusammengefasst. Dabei ist es egal, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird oder ob in einem Schritt jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird.

Viertes Beispiel

Hier wird das Distributivgesetzt andersherum angewandt als in den Beispielen zuvor. Betrachte

$12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 \,.$

Da in allen Summanden der Faktor 6a²b vorkommt, kann dieser ausgeklammert werden. Das heißt aufgrund des Distributivgesetzes gilt

$12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 = 6 a^2 b (2 a b - 5 a^2 c + 3 b^2 c^2)\,.$

Matrizen

Auch für die Matrixmultiplikation ist das Distributivgesetz gültig. Genauer gesagt gilt

$(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$

für alle $l \times m$-Matrizen A,B und $m \times n$-Matrizen C sowie

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

für alle $l \times m$-Matrizen A und $m \times n$-Matrizen B,C. Da für die Matrixmultiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt, folgt aus dem ersten Gesetz nicht das zweite. Es handelt sich in diesem Fall also um zwei verschiedene Gesetze.

Literatur

• D. M. Smirnov: Distributivity. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.