Kriterium von Gauß

Das Kriterium von Gauß ist ein Konvergenzkriterium für Reihen, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist. Das Kriterium ist auch unter dem Namen Gauß-Test für Reihenkonvergenz bekannt und ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.

Sei eine unendliche Reihe

$S = \sum_{n=1}^\infty a_n$

mit positiven reellen Summanden a_n gegeben, für deren Quotienten gilt:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\alpha}n+\frac{\theta_n}{n^\lambda}$

oder

$\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{\alpha}n+\frac{\tau_n}{n^\lambda}$

mit λ > 1 und beschränkten Folgen (θ_n)_n bzw. (τ_n)_n.

Dann ist S für α > 1 konvergent, sonst divergent.

Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein.

Siehe auch

Kriterium von Raabe

Literatur

Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, § 38. Springer, 6. Aufl. 1996, ISBN 3-540-59111-7

Weblinks

• Gauß-Kriterium bei MathWorld
• Weitere Varianten des Kriteriums (D. M. Bressoud) (PDF-Datei; 127 kB)