Gauß-Test

Der Gauß-Test ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik. Er bezeichnet eine Gruppe von Hypothesentests mit standardnormalverteilter Testprüfgröße. Der Test ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.

Mit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.

Der Gauß-Test weist eine starke Verwandtschaft mit dem t-Test auf. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein.

Mathematische Grundlagen

Sind $X_1, X_2, \dots, X_n$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ_X und Standardabweichung σ_X, so ist ihr arithmetisches Mittel

$\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

normalverteilt mit Erwartungswert μ_X und Standardabweichung $\sigma_X/\sqrt{n}$.

Die Stichprobenfunktion

$Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}$

ist dann unter der Nullhypothese μ_X = μ₀ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

Die Teststatistik kann geschrieben werden als:

$Z = \frac{\bar X - \mu_X}{\sigma_X}\sqrt{n}+\frac{\mu_X-\mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}=\chi+\frac{\mu_X-\mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}$,

also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable χ plus eine Zahl, die auf standardisierte Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.

Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen $Y_1, Y_2, \dots, Y_m$ mit Erwartungswert μ_Y, Standardabweichung σ_Y und arithmetischem Mittel

$\bar Y = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i$

vor, so ist $\bar X-\bar Y$ normalverteilt mit Erwartungswert μ_X − μ_Y und Standardabweichung :$\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}$.

Die Stichprobenfunktion

$Z = \frac{(\bar X - \bar Y)-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}}$

ist dann unter der Nullhypothese μ_X − μ_Y = δ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

Einstichproben-Gauß-Test

Anwendung

Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Stichprobe $x_1, x_2, \dots, x_n$ entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ und bekannter Standardabweichung σ.

Hypothesen

• Nullhypothese H₀ für den zweiseitigen Test: $\mu = \mu_0\!\,$
• Alternativhypothese H₁ für den zweiseitigen Test: $\mu \neq \mu_0$
• Nullhypothese H₀ für den einseitigen Test: $\mu \leq \mu_0$ (rechtsseitiger Test) bzw. $\mu \geq \mu_0$ (linksseitiger Test)
• Alternativhypothese H₁ für den einseitigen Test: $\mu > \mu_0\!\,\!\,$ bzw. $\mu < \mu_0\!\,$

μ₀ wird vom Anwender vorgegeben.

Berechnung der Testprüfgröße

Mit dem Stichprobenmittelwert $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ berechnet man die Testprüfgröße $z = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma}$.

Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

Anwendung

Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die Stichproben $x_1, x_2, \dots, x_n$ und $y_1, y_2, \dots, y_m$ sollen normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten μ_x bzw. μ_y und bekannten Standardabweichungen σ_x bzw. σ_y entstammen.

Hypothesen

• Nullhypothese H₀ für den zweiseitigen Test: $\mu_x - \mu_y = \mu_0\!\,$
• Alternativhypothese H₁ für den zweiseitigen Test: $\mu_x - \mu_y \neq \mu_0$
• Nullhypothese H₀ für den einseitigen Test: $\mu_x - \mu_y \leq \mu_0$ (rechtsseitiger Test) bzw. $\mu_x - \mu_y \geq \mu_0$ (linksseitiger Test)
• Alternativhypothese H₁ für den einseitigen Test: $\mu_x - \mu_y > \mu_0\!\,$ bzw. $\mu_x - \mu_y < \mu_0\!\,$

Berechnung der Testprüfgröße

Mit den Stichprobenmittelwerten $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ und $\bar y = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i$ berechnet man die Testprüfgröße $z = \frac{\bar x - \bar y - \mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{n} + \frac{\sigma_y^2}{m}}}$.

Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben

Anwendung

Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare (x_i,y_i) von Messwerten vorliegen, wie man sie z.B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Differenzen d_i = x_i − y_i sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ und bekannter Standardabweichung σ entstammen.

Hypothesen

• Nullhypothese H₀ für den zweiseitigen Test: $\mu = \mu_0\!\,$
• Alternativhypothese H₁ für den zweiseitigen Test: $\mu \neq \mu_0$
• Nullhypothese H₀ für den einseitigen Test: $\mu \leq \mu_0$ (rechtsseitiger Test) bzw. $\mu \geq \mu_0$ (linksseitiger Test)
• Alternativhypothese H₁ für den einseitigen Test: $\mu > \mu_0\!\,$ bzw. $\mu < \mu_0\!\,$

μ₀ wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ (H₁) getestet, dann ist μ₀ = 0.

Berechnung der Testprüfgröße

Die Differenzen d_i bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel $\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i$. Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße $z = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar d - \mu_0}{\sigma}$.

Entscheidung über die Hypothesen

Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für Hypothesentests angewendet. Da Z eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, erhält man die folgenden Regeln.

Ablehnung von H₀ (d.h. Annahme von H₁) zum Signifikanzniveau α, falls gilt:

• beim zweiseitigen Test: | z | > u(1 − α / 2) (dies ist das (1 − α / 2)-Quantil der Standardnormalverteilung)
• beim rechtsseitigen Test: z > u(1 − α)
• beim linksseitigen Test: z < u(α)

Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen

Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

Beispiel

Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit σ = 2. Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d.h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).

Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:

ohne Gabe von P   xi  12 13 10 12 14 11 14 18 15 13 15 13 11 17 11 12 13 14 15 13 14 13
mit Gabe von P    yi  13 14 13 17 13 16 16 19 17 15 17 15 15 20 15 15 14 15 13 15 16 15

Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau α soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):

• u(1 − α / 2) = u(0,975) = 1,960
• u(1 − α) = u(0,95) = 1,645
• u(α) = u(0,05) = − 1,645

Für die Mittelwerte berechnet man $\bar x = 13{,}32$ und $\bar y = 15{,}36$.

• 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.

Verfahren: Rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test.

$H_0: \mu \leq \mu_0 = 15$ und $H_1: \mu > 15\!\,$

$z = \sqrt{22} \cdot \frac{15{,}36 - 15}{2} = 0{,}85 < 1{,}645$

Entscheidung: H₀ wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.

• 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.

Verfahren: Zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben.

$H_0: \mu_x - \mu_y = \mu_0 = 0\!\,$ und $H_1: \mu_x \neq \mu_y$

$|z| = \sqrt{22} \cdot \frac{|13{,}32 - 15{,}36|}{2 \cdot \sqrt{2}} = 3{,}39 > 1{,}960$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.

Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit σ = 1,6. In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.

• 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.

Verfahren: Linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben.

$H_0: \mu \geq \mu_0 = -1{,}25$ und $H_1: \mu < -1{,}25\!\,$

$\bar d = \bar x - \bar y = -2{,}045$

$z = \sqrt{22} \cdot \frac{-2{,}045 + 1,25}{1{,}6} = -2{,}33 < -1{,}645$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.

Siehe auch

• t-Test
• Varianzanalyse

Literatur

• Rönz/Strohe (Hrsg.): Lexikon Statistik. Gabler, 1994, ISBN 978-3-409-19952-0.
• Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Kap. 20. Vieweg und Teubner, 2. Aufl. 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.
• Cramer/Kamps: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. S. 271ff. Springer, 2. Aufl. 2008, ISBN 978-3-540-77760-1.

Weblinks

• Gauß-Test bei StatWiki
• Skript zum Gauß-Test vom Lehrstuhl für Rechnerorientierte Statistik und Datenanalyse, Universität Augsburg