- Gronwallsche Ungleichung
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Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.
Inhaltsverzeichnis
Formulierung
Gegeben seien ein Intervall
sowie stetige Funktionen
und
. Weiter gelte die Integralungleichung
für alle
. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung
für alle
.
Man beachte, dass die Funktion u in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für u.
Spezialfall
Im Fall konstanter Funktionen
und
lautet die gronwallsche Ungleichung
Anwendungen
Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme
Es sei
,
,
und
stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem
höchstens eine Lösung
.
Linear beschränkte Differentialgleichungen
Seien
,
,
,
und
stetig. Weiter gebe es Funktionen
derart, dass
für alle
. Dann ist jede Lösung y von
auf [a,b) beschränkt.
Beweis
Es gilt
Die gronwallsche Ungleichung impliziert
und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:
Weblinks
- Beweis der gronwallschen Ungleichung im Beweisarchiv
- Anwendung der gronwallschen Ungleichung für den Eindeutigkeitssatz von Anfangswertproblemen bei lokal Lipschitz-stetiger Differentialgleichung
- Die gronwallsche Ungleichung auf planetmath.org
Literatur
- Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
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