Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen^[1] genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Symbolklassen

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmandar eingeführt.

Definition

Sei $X \subset \R^n$ eine offene Teilmenge und seien m,ρ,δ reelle Zahlen mit $0<\rho \leq 1$ und $0 \leq \delta < 1$. Dann versteht man unter $S^m_{\rho,\,\delta}(X \times \R^n)$ die Menge aller glatten Funktionen $a \in C^\infty(X \times \R^n)$, so dass für jede kompakte Menge $K \subset X$ und alle $\alpha, \beta \in \N \cup \{0\}$ die Ungleichung

$\left|\frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi)\right| \leq C_{\alpha,\beta,K} (1 + |\xi|)^{m-\rho|\alpha| + \delta|\beta|}$

für eine Konstante C_α,β,K erfüllt ist. Die Elemente von $S^m_{\rho,\, \delta}$ werden Symbole der Ordnung m und des Typs (ρ,δ) genannt. Außerdem werden die Symbolklassen $S^{-\infty}$ und $S^\infty$ durch

$\begin{align} S^{-\infty} &:= \bigcap_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} \\ S^{\infty}_{\rho, \delta} &:= \bigcup_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} \end{align}$

definiert.

Topologisierung

Die besten Konstanten der Ungleichung

$\left|\frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi)\right| \leq C_{\alpha,\beta,K} (1 + |\xi|)^{m-\rho|\alpha| + \delta|\beta|}$

das heißt die Konstanten

$p_{K,\alpha,\beta}(a) := \sup_{x \in K;\ \xi \in \R^n} \frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi) (1 + |\xi|)^{-m+\rho|\alpha| - \delta|\beta|}$

sind Halbnormen. Diese machen die Räume $S^m(X \times \R^n)$ zu Fréchet-Räumen. Da $\textstyle S^{-\infty} := \bigcap_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} = \bigcap_{m \in \Z} S^m_{\rho, \delta}$ gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch $S^{-\infty}$ ein Fréchetraum.

Klassisches Symbol

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum $S_{1,0}^m.$ Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.^[2]

Ein Symbol $p \in S^m_{1,0}(X \times \R^n)$ heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür $p \in S^m_{cl} (X \times \R^n)$, wenn es eine Ausschälfunktion $\phi \in C^\infty(\R^n)$ gibt und Funktionen $p_j \in C^\infty(X \times (\R^n \backslash \{0\}))$, so dass jedes p_j positiv homogen von der Ordnung m − j in der Variablen ξ ist. Es muss also

$p_j(x, t \xi) = t^{m-j} p_j(x,\xi)\qquad \forall (x,t,\xi) \in X \times \R^n \times \R_+$

gelten und außerdem muss

$p(x,\xi) - \sum_{j=0}^{k-1} \phi(x)p_j(x,\xi) \in S^{m-k}(X \times \R^n)$

für alle $k \in \N$ gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von p.

Beispiele

• Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen $\R$ mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von $S^0_{1,0}(X \times \R^n)$.
• Sei $\textstyle p(x,\xi) = \sum_{|\alpha| \leq k} a_{\alpha}(x)\xi^\alpha$ mit Koeffizientenfunktionen $a_\alpha \in C^\infty(X)$ ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung $k\in \N_0$. Dann gilt $p \in S^k_{1,0}(X \times \R^n)$.

Eigenschaften

1. Die Abbildung $\textstyle p \mapsto \frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta}\frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha} p(x,\xi) : S^m_{\rho, \delta}(\R^n) \to S^{m - \rho|\alpha|}_{\rho, \delta}(\R^n)$ ist linear und stetig.
2. Die Abbildung $\textstyle (p, \tilde{p}) \mapsto p(x,\xi) \tilde{p}(x,\xi) : S^m_{\rho, \delta}(\R^n) \times S^{m'}_{\rho, \delta}(\R^n) \to S^{m + m'}_{\rho, \delta}(\R^n)$ ist bilinear und stetig.
3. Für $m \leq m'$ gilt $S^m_{1,0} \subset S^{m'}_{1,0}$.
4. Sei $a \in C^\infty(X \times \R^n)$ positiv homogen vom Grad m für $|\xi| \geq 1$, das heißt
   a(x,λξ) = λ^ma(x,ξ)
   für $\lambda \geq 1$ und $|\xi| \geq 1$. Dann gilt $a \in S^m_{1,0}(X \times \R^n)$.
5. Sei $X \subset \R^n$ offen und m < m'. Auf beschränkten Teilmengen von $S^m_{1,0}(X \times \R^n)$ ist die durch $S^{m'}_{1,0}(X \times \R^n)$ induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
6. Sei m < m'. Dann ist $S^{-\infty}(X \times \R^n)$ in der $S^{m'}_{1,0}$-Topologie dicht in $S^m_{1,0}(X \times \R^n)$.

Einzelnachweise

1. ↑ M. A. Shubin: Pseudo-differential operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
2. ↑ J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269-305

Literatur

• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4