Cesàro-Mittel

Als Cesàro-Mittel, Cesàro-Durchschnitt oder auch Cesàro-Summe wird das zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n Folgengliedern gebildete arithmetische Mittel bezeichnet. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück.

Definitionen

Zu einer Zahlenfolge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ wird durch $c_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$ die Folge $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ definiert und als Folge von Cesàro-Mitteln bezeichnet.

Falls die Folge $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert, so wird die Ausgangsfolge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ als Cesàro-summierbar oder C₁-summierbar bezeichnet.

Folgerungen

Konvergiert die Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gegen einen Wert a, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gegen a.

Aus der Konvergenz einer Folge folgt ihre Cesàro-Summierbarkeit.

Allerdings kann eine Folge Cesàro-summierbar sein ohne selbst zu konvergieren.

Beispiel

Die Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sei durch a_n: = ( − 1)ⁿ definiert. Diese Folge ist offensichtlich divergent. Die Folge ihrer Cesàro-Mittel $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $c_n=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n (-1)^m$ konvergiert gegen 0. Die Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist somit Cesàro-summierbar.

Anwendung

Die Cesàro-Summierbarkeit ist insbesondere in der Theorie der Fourier-Reihen von Bedeutung.

Literatur

• Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S.459

Weblinks

• Cesaro-Mittel auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)