Riesz-Mittel

Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.^[1][2] Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Reihe {s_n}. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

$s^\delta(\lambda) = \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n$

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

$R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k$

Dabei sind die λ_n eine Folge mit $\lambda_n\to\infty$ und mit $\lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1$, wenn $n\to\infty$. Die anderen λ_n sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der $s_n = \sum_{k=0}^n a_n$ für Folgen {a_n}. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} R_n$ vorhanden ist oder der Grenzwert $\lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)$ existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle

Sei a_n = 1 für alle n. Dann gilt

$\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}.$

Dabei muss c > 1 sein, Γ(s) ist die Gammafunktion und ζ(s) ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

∑	bnλ − n
n

für λ > 1 konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von a_n = Λ(n), wobei Λ(n) die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

$\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}.$

Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und

$\sum_n c_n \lambda^{-n} \,$

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch

• Mittelwert

Literatur

1. ↑ M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
2. ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)

• I.I. Volkov: Riesz summation method, in Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001, ISBN 978-1556080104 (englisch)