S-Struktur

Zu jeder Elementaren Sprache L^S, die die Syntax eines mathematischen Teilgebiets beschreibt, können zugehörige S-Strukturen definiert werden. Diese S-Strukturen dienen dazu, eine Semantik für die elementare Sprache festzulegen; d.h., das formale System mit einer Bedeutung zu versehen. Dazu wird auf einem Grundbereich A (einer Menge, die Universum genannt wird) jedem Symbol aus der Symbolmenge (Signatur) eine Relation, eine Funktion bzw. eine Konstante aus A zugeordnet. Die Formeln aus der Sprache erster Ordnung übersetzen sich auf diese Weise in Aussagen über "konkrete" Mengen, Relationen und Funktionen. So entsteht Bedeutung für die bis dahin inhaltsleeren Zeichenketten aus L^S, und man kann nun über Wahrheit und Falschheit von Aussagen sprechen, im Gegensatz zur Ableitbarkeit im Kalkül L^S.

Definition

Sei S die Signatur einer Sprache erster Stufe L^S. $S=(R_0,R_1,R_2,\ldots,f_0,f_1,f_2,\ldots,c_0,c_1,c_2,\ldots)\$ besteht aus Relations- und Funktionssymbolen sowie Konstanten. Zusammen mit den logischen Symbolen bildet die Signatur das Alphabet der Elementaren Sprache.

Unter einer S-Struktur verstehen wir ein Paar $\mathfrak{A}=(A,\mathfrak{a})$ mit den folgenden Eigenschaften:

1. A ist eine nicht-leere Menge, der sog. Grundbereich, Träger oder das Universum von $\mathfrak{A}$.
2. $\mathfrak{a}$ ist eine auf der Symbolmenge S definierte Abbildung. Für sie gilt:
   1. Für jedes n-stellige Relationssymbol R aus S ist $\mathfrak{a}(R)$ eine n-stellige Relation über A.
   2. Für jedes n-stellige Funktionssymbol f aus S ist $\mathfrak{a}(f)$ eine n-stellige Funktion über A.
   3. Für jede Konstante c aus S ist $\mathfrak{a}(c)$ ein Element von A.

Beispiel

Für die Arithmetik ist die folgende Signatur von Bedeutung:

• $S_{Ar}:=\{+,\cdot,0,1\}$. + und $\cdot$ sind zweistellige Funktionssymbole, und 0 und 1 sind Konstanten. Die "Standardstruktur" für S_Ar ist $\N$, die Menge der natürlichen Zahlen, mit den üblichen Verknüpfungen der Addition und Multiplikation über $\N$.

Ziel der Definition

Mithilfe von S-Strukturen lassen sich die Begriffe der Belegung und der Interpretation von Formeln einer Elementaren Sprache definieren. Dies sind die Grundbegriffe der Modelltheorie, die das formale Instrument für die Semantik formaler Sprachen ist. Innerhalb dieser Theorie lassen sich dann der zur Syntax gehörende Begriff der Ableitung und der semantische Begriff der Gültigkeit oder Wahrheit aufeinander beziehen (Korrektheit und Vollständigkeit).

Quellen

Hans-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum und Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Vierte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-1691-4.