L-Funktion

Die Theorie der L-Funktionen ist ein aktuelles Gebiet der analytischen Zahlentheorie, in welchem Verallgemeinerungen der Riemannsche ζ-Funktion und der Dirichletschen L-Reihen untersucht werden. Dabei werden ihre allgemeinen Eigenschaften mit systematischen Methoden angegeben, wobei man jedoch i. A. auf Vermutungen angewiesen ist, d.h. man ist oft von einem strengen Beweis noch entfernt.

L-Funktionen

Gleich zu Anfang wird bewusst zwischen L-Reihen (z. B. der Dirichlet'schen Reihe für die Riemann'sche ζ-Funktion) und L-Funktionen unterschieden. Letztere sind Funktionen in der komplexen Zahlen-Ebene $\mathbb C$ und werden durch verschiedene Methoden - hauptsächlich durch analytische Fortsetzung - aus den Reihen erzeugt.

Die Konstruktion beginnt also mit einer L-Reihe, die zunächst in ein Eulersches Produkt umgewandelt wird, das mit Primzahlen indiziert wird. Es folgt dann der Beweis, dass dieses Produkt in einer „rechten Halbebene“ von $\mathbb C$ konvergiert. Man versucht dann, die so definierte Funktion auf ganz $\mathbb C$ analytisch fortzusetzen (u. U. mit zusätzlichen Polstellen).

Die so definierte meromorphe - oder als meromorph vermutete - Fortsetzung wird L-Funktion genannt. Aber schon klassische Beispiele lehren, dass u. U. nützliche Information in Punkten enthalten sein kann, für die die L-Reihe nicht konvergiert.

Der Terminus L-Funktion umfasst auf jeden Fall bekannte Beispiele wie die ζ-Funktionen.

Die sog. Selbergsche Klasse S baut auf einem daraus gewonnenen Satz von Axiomen für L-Funktionen auf. Dadurch werden die Untersuchungen systematisiert, indem statt individueller Funktionen die zugehörige Klasse studiert wird.

Vermutete Eigenschaften

Man kann aus bekannten Beispielen ablesen, welche Eigenschaften eine Theorie der L-Funktionen haben sollte; und zwar sollte sie

• erstens, die Position der Null- und Polstellen ergeben,
• zweitens, Funktionalgleichungen bezüglich der Vertikallinien Re (s) = constant liefern,
• drittens, spezielle und interessante Werte für ganzzahlige Argumente ergeben.

Detailuntersuchungen haben eine große Zahl plausibler Vermutungen erzeugt, z. B. über den genauen Typ der gerade angegebenen Funktionalgleichungen. Da die Riemannsche ζ-Funktion durch ihre Werte bei geradzahligen positiven ganzen Zahlen (und negativen ungeradzahligen Werten) mit den Bernoullischen Zahlen zusammenhängt, liegt es nahe, nach einer Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahlen in der angegebenen Theorie zu suchen. Man verwendet dazu die Körper der p-adischen Zahlen, wodurch gewisse Galois-Moduln beschrieben werden.

Die statistischen Eigenschaften der Nullstellenverteilung der L-Funktionen sind u. A. deshalb von Interesse, weil sie mit allgemeinen Problemen zusammenhängt, zum Beispiel mit einer Hypothese über die Primzahlverteilung und mit anderen sog. Verallgemeinerten Riemann'schen Hypothesen. Der Zusammenhang mit den Theorien der Zufallsmatrizen und des sog. Quantenchaos' ist ebenfalls von Interesse. Die fraktale Struktur der Verteilungen wurde ebenfalls mit sog. Skalenanalysen untersucht.^[1]. Die Selbstähnlichkeit der Nullstellenverteilung ist sehr bemerkenswert und wird durch einen großen Wert der fraktalen Dimension, ~ 1.9, charakterisiert. Dieser sehr hohe Wert gilt für mehr als 15 Größenordnungen der Nullstellenverteilung der Riemann'schen ζ-Funktion und auch für die Nullstellen anderer L-Funktionen.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

→ Hauptartikel: Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Einer der wichtigsten Problemkreise, sowohl für die Geschichte der verallgemeinerten L-Funktionen als auch hinsichtlich vieler nach wie vor ungeklärter Fragen, ist durch eine Vermutung gegeben, die Anfang der sechziger Jahre des vorigen Jahrhunderts von Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer aufgestellt wurde.

Diese Vermutung bezieht sich auf eine elliptische Kurve E. Das Problem, das gelöst werden soll, ist die Vorhersage des Rangs von E über der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen (oder einem anderen Zahlkörper): Es soll also für E die Zahl der freien Generatoren der Gruppe ihrer rationalen Punkte bestimmt werden.

Ein großer Teil der Untersuchungen auf diesem Gebiet wurde durch den Gesichtspunkt vereinheitlicht, eine bessere Kenntnis der L-Funktionen zu erreichen. Dies war ein paradigmatisches Ziel der neuen entstandenen Theorie der L-Funktionen.

Die allgemeine Theorie

Diese Entwicklung führte innerhalb weniger Jahre zum Langlands-Programm, zu dem sie gewissermaßen komplementär ist. Langlands Untersuchungen beziehen sich weitgehend auf Artin'sche L-Funktionen, die, wie die Hecke'schen L-Funktionen, mehrere Jahrzehnte früher definiert wurden, und auf L-Funktionen, die mit allgemeinen automorphen Darstellungen zusammenhängen..

Allmählich wurde so klar, in welchem Sinn die ζ-Funktionen von Hasse bzw. Weil auf dieselben L-Funktionen führen wie die von Riemann. Man erkannte, dass eine bestimmte Form von Analysis, eine Art automorpher Analysis, vorausgesetzt werden musste.
Der allgemeine Fall vereinigt in konzeptueller Hinsicht eine Vielzahl unterschiedlicher Forschungsprogramme

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, Springer, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8

Einzelnachweise

1. ↑ O. Shanker: Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions. In: J. Phys. A: Math. Gen.. 39, 2006, S. 13983–13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Weblinks

• Glimpses of a new (mathematical) world, Physorg.com, 13. März 2008
• Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
• Hunting the elusive L-function