Dirichletsche Beta-Funktion

Die dirichletsche Beta-Funktion, geschrieben β(s), ist eine spezielle Funktion; sie ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion.

Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859).

Definitionen

Die dirichletsche β-Funktion ist folgendermaßen definiert:

$\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}=1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\frac1{7^s}+\frac1{9^s}-+\ldots$

Eine äquivalente Definition ist

$\beta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,\mathrm dx,$

wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet.

In beiden Fällen wird Re(s) > 0 vorausgesetzt.

Eine Definitionsmöglichkeit unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion, die β für alle komplexen s definiert, lautet:

$\beta(s)=4^{-s}\left( \zeta\left(s,\tfrac14 \right)-\zeta\left(s,\tfrac34\right) \right).$

Eine andere gleichwertige Definition für alle komplexen s schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion Φ ein und lautet

$\beta(s)=2^{-s} \Phi\left(-1,s,{\tfrac12}\right).$

Die analytische Fortsetzung auf die ganze komplexe Zahlenebene ist gegeben durch

$\beta(1-z)=\left(\frac2\pi\right)^z \sin\left(\tfrac12\pi z\right)\Gamma(z)\beta(z).$

Spezielle Werte

Einige spezielle Werte der β-Funktion sind

$\beta(0) = \tfrac12$

$\beta(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

$\beta(2) = G\$

$\beta(3) = \frac{\pi^3}{32}$

$\beta(4) = \frac1{768}\left(\psi_3(\tfrac14)-8\pi^4\right)$

$\beta(5) = \frac{5\pi^5}{1536}$

$\beta(7) = \frac{61\pi^7}{184320}$

Hierbei bezeichnet G die catalansche Konstante und ψ₃(z) ist die Trigamma-Funktion, also die dritte Polygamma-Funktion.

Allgemein gilt für positive ganze Zahlen k die Rekursion

$\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}},$

wobei E_n die n-te Euler-Zahl ist. Im Fall k > 0 vereinfacht sich dies zu

$\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.$

Ferner gilt für natürliche k

$\!\ \beta(-2k-1)=0.$

Ableitung

Es gilt

$\beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi = 0{,}583121\ldots$

$\beta^\prime(0) = \ln\frac{\Gamma^2(1/4)}{2\pi\sqrt2} = 0{,}391594\ldots$

$\beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right) = 0{,}192901\ldots$

(vgl. Folgen A113847 und A078127 in OEIS)

Außerdem gilt für positive ganze n:

$\sum_{k=1}^\infty \ln\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)}}{(4k-1)^{1/(4k-1)}} = -\beta^\prime(n).$

Weiteres

Rivoal and Zudilin bewiesen 2003^[1], dass mindestens einer der Werte β(2), β(4), β(6), β(8), β(10) und β(12) irrational ist.

Außerdem bewiesen Guillera und Sandow 2005^[2] folgende Formel:

$\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{[-\ln(xy)]^s}{1+x^2y^2}\mathrm dx\mathrm dy =\Gamma(s+2)\beta(s+2)$

Referenzen

1. ↑ Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Math. Ann. Band 326, Nummer 4, 2003, Seiten 705-721; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln
2. ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dirichlet Beta Function auf MathWorld (englisch)