Dirichletsche Beta-Funktion
- Dirichletsche Beta-Funktion
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Die dirichletsche Beta-Funktion, geschrieben β(s), ist eine spezielle Funktion; sie ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion.
Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859).
Definitionen
Die dirichletsche β-Funktion ist folgendermaßen definiert:
Eine äquivalente Definition ist
wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet.
In beiden Fällen wird Re(s) > 0 vorausgesetzt.
Eine Definitionsmöglichkeit unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion, die β für alle komplexen s definiert, lautet:
Eine andere gleichwertige Definition für alle komplexen s schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion Φ ein und lautet
Die analytische Fortsetzung auf die ganze komplexe Zahlenebene ist gegeben durch
Spezielle Werte
Einige spezielle Werte der β-Funktion sind
Hierbei bezeichnet G die catalansche Konstante und ψ3(z) ist die Trigamma-Funktion, also die dritte Polygamma-Funktion.
Allgemein gilt für positive ganze Zahlen k die Rekursion
wobei En die n-te Euler-Zahl ist. Im Fall k > 0 vereinfacht sich dies zu
Ferner gilt für natürliche k
Ableitung
Es gilt
(vgl. Folgen A113847 und A078127 in OEIS)
Außerdem gilt für positive ganze n:
Weiteres
Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[1], dass mindestens einer der Werte β(2), β(4), β(6), β(8), β(10) und β(12) irrational ist.
Außerdem bewiesen Guillera und Sandow 2005[2] folgende Formel:
Referenzen
- ↑ Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Math. Ann. Band 326, Nummer 4, 2003, Seiten 705-721; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln
- ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
Weblinks
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