Polylogarithmus

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.$

definiert ist. Für s = 1 geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

Li₁(z) = − ln(1 − z).

Im Fall s = 2 oder s = 3 spricht man entsprechend von Dilogarithmus oder Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe s und z mit | z | < 1. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere z ausdehnen.

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene

$\operatorname{Li}_{-3}(z)$	$\operatorname{Li}_{-2}(z)$	$\operatorname{Li}_{-1}(z)$	$\operatorname{Li}_{0}(z)$	$\operatorname{Li}_{1}(z)$	$\operatorname{Li}_{2}(z)$	$\operatorname{Li}_{3}(z)$

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s = n eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus durch die Rekursion

$\operatorname{Li}_{0}(z) =\frac{z}{1-z}; \quad \operatorname{Li}_{n+1}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Li}_n(t)}{t}\, \mathrm dt,\, (n\in\{0,1,2,3,\ldots\})$

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus, und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von s lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. π) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen

Für ganzzahlige Werte von s gelten die folgenden expliziten Ausdrücke:

$\operatorname{Li}_{1}(z) = -\textrm{ln}\left(1-z\right)$

$\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}$

$\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$

$\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}$

$\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}.$

$\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z(1+z)(1+10z+z^2) \over (1-z)^5}.$

Für alle negativen ganzzahligen Werte von s kann der Polylogarithmus als Verhältnis von Polynomen in z geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Einige spezielle Ausdrücke für halbzahliges z sind im Folgenden gegeben:

$\operatorname{Li}_{1}\left( \tfrac 1 2 \right) = \textrm{ln}\,2$

$\operatorname{Li}_{2}\left( \tfrac 1 2 \right) = \tfrac1{12}\left(\pi^2-6\,\textrm{ln}^2\,2 \right)$

$\operatorname{Li}_{3}\left( \tfrac 1 2 \right) = \tfrac1{24}\left( 4\,\textrm{ln}^3\,2-2\pi^2\,\textrm{ln}\,2+21\,\zeta(3) \right)$

ζ ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für höhere Ordnungen sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

$\!\ \mathrm{Li}_s(1)=\zeta(s)$

und

$\!\ \mathrm{Li}_s(-1)=-\eta(s).$

mit der dirichletschen η-Funktion^[1].

Ableitung

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{Li}_n(x)=\frac1x \mathrm{Li}_{n-1}(x)$

Integraldarstellung

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen z,s durch

$\mathrm{Li}_s(z)= \frac{z}{2}+\mathrm{ln}^{s-1}\,\frac{1}{z}\,\Gamma(1-s,-\mathrm{ln}\,z)+ 2z\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t-t\,\mathrm{ln}\,z)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}(\mathrm{e}^{2\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t$

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist $\Gamma(s,z)=\int\limits_z^\infty t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen

Mehrdimensionale Polylogarithmen

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen defininert^[2]:

$\mathrm{L}_{a_1,\ldots,a_m}(z)=\sum_{n_1<\ldots<n_m<0} \frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\cdots n_m^{a_m}}$

Lerchsche Zeta-Funktion

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

$\,\textrm{Li}_s(z)=z\cdot\Phi(z,s,1).$

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus^[3]:

$S_{n,p}(z)=\frac{(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!} \int\limits_0^1 \frac{\ln(t)^{-1}\left[\ln(1-zp)^t\right]}t \mathrm dt$

Es gilt:

S_{n − 1,1}(z) = Li_n(z)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dilogatrithm, Trilogarithm und Polylogarithm auf MathWorld (englisch)
• Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Abs. 27.7
• David H. Baileyb und David J. Broadhurst: A seventeenth-order polylogarithm laddera; vgl. in arxiv

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld. (englisch)
2. ↑ Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld. (englisch)
3. ↑ Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld. (englisch)