Spezielle Funktion

Spezielle Funktion

In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle spielen. Die meisten speziellen Funktionen sind holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Sie werden unter anderem deshalb als speziell bezeichnet, weil sie in vielfältiger Weise zueinander in Beziehung stehen. Bei ihrer Untersuchung werden solche Beziehungen beschrieben und neue gefunden. Einige spezielle Funktionen zählen zu den transzendenten Funktionen und werden aufgrund ihrer Sonderstellung auch als höhere transzendente Funktionen bezeichnet.

Im 20. Jahrhundert wurden verschiedene Ansätze entwickelt, mit denen wichtige spezielle Funktionen als Spezialfälle von geschlossen darstellbaren Funktionenscharen behandelt werden können. Hierzu zählen u. a. die Meijersche G-Funktion, Foxsche H-Funktion und die hypergeometrische Funktion.

Liste einiger spezieller Funktionen

In der mehrdimensionalen Analysis sind auch spezielle Funktionen in mehreren (in der Regel komplexen) Variablen gebräuchlich.

  • Spezielle Funktionen in mehreren Parametern
    • Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen
      • Appellsche Funktionen

Spezielle Funktionen der theoretischen Physik:

Anwendungsgebiete

Viele dieser Funktionen sind Lösungen von Differentialgleichungen, die in wichtigen Anwendungssituationen auftreten. Spezielle Funktionen sind auch das Rückgrat von vielen Berechnungen mit Computeralgebrasystemen (Mathematica, Maple, …).

In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und „symbolic computation“ untersucht. In der Analytischen Zahlentheorie sind sie von besonderer Bedeutung.

Literatur


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