Leere Menge

{ }

∅

Die leere Menge ist ein grundlegender Begriff aus der Mengenlehre. Man bezeichnet damit die Menge, die keinerlei Elemente enthält. Da Mengen über ihre Elemente charakterisiert werden und zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben, gibt es nur eine einzige leere Menge.

Die leere Menge ist nicht mit einer Nullmenge zu verwechseln, eine solche kann sogar unendlich viele Elemente enthalten.

Notation und Codierung

Als Zeichen für die leere Menge hat sich das von Nicolas Bourbaki verwendete Zeichen $\varnothing$ (ein durchgestrichener Kreis) weitgehend durchgesetzt. Eine typographische Variante davon ist $\emptyset$ (eine durchgestrichene Null). Vor allem in der Schulmathematik wird die leere Menge auch gern durch eine leere Mengenklammer dargestellt: { }. Dieses Zeichen wirkt einem Missverständnis entgegen: Die leere Menge ist nicht nichts, sondern etwas, das nichts enthält, ein sogenanntes Urelement.

Das ∅ ist in HTML als ∅ kodiert; in Unicode als U+2205 und in LaTeX als \emptyset oder alternativ \varnothing. Nicht verwechselt werden sollte es mit dem ähnlich aussehendem Durchmesser-Zeichen ⌀, das als U+2300 kodiert ist, oder dem skandinavischen Buchstaben Ø (U+00D8 bzw. U+00F8).

Leermengenaxiom

Ein Axiom, das die Existenz einer leeren Menge fordert, wurde erstmals 1907 von Ernst Zermelo in der Zermelo-Mengenlehre formuliert. Es wurde später in die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und andere axiomatische Mengenlehren übernommen. Dieses Leermengenaxiom lautet verbal: Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält. Die präzise logische Formel lautet:

$\exist M\colon \forall X\colon \lnot (X \in M)$

Die Eindeutigkeit der leeren Menge folgt aus dem Extensionalitätsaxiom. Das Leermengenaxiom ist mit dem Aussonderungsaxiom ableitbar aus irgendeiner anderen Menge. In ZF, das im Unendlichkeitsaxiom die Existenz einer Menge fordert, ist es damit entbehrlich.

Eigenschaften

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:

  $\varnothing \subseteq A$

• Jede Menge bleibt bei Vereinigung mit der leeren Menge unverändert:

  $\varnothing \cup A = A$

• Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge die leere Menge:

  $\varnothing \cap A = \varnothing$

• Für jede Menge ist das kartesische Produkt mit der leeren Menge die leere Menge:

  $\varnothing \times A =\varnothing$

• Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:

  $A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing$

• Daraus folgt, dass die Potenzmenge der leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst:

  $\mathcal P(\varnothing) = \left\{ \varnothing \right\}$

• Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft E(x) gilt:

  $\varnothing = \left\{ x \mid E(x) \right\}$, z.B. $\varnothing = \left\{ x \mid x \in \mathbb Z, x+1=x+2 \right\}$

• Jede Existenzaussage über Elemente der leeren Menge, etwa

  „Es existiert ein x aus $\varnothing$, sodass gilt…“ ist falsch,

  denn es gibt kein Element, das die Bedingung erfüllen könnte.

• Jede All-Aussage über Elemente der leeren Menge, etwa

  „Für alle Elemente der Menge $\varnothing$ gilt…“ ist wahr,

  denn es gibt kein Element, für das die fragliche Eigenschaft nachgeprüft werden müsste.

• Für jede Menge A gibt es genau eine Abbildung

  $f : \varnothing \to A$.

• Für eine Menge A gibt es nur dann, wenn A die leere Menge ist, eine Abbildung

  $f : A \to \varnothing$.

• Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedem topologischen Raum zugleich abgeschlossen und offen.

Kardinalität der leeren Menge

Die leere Menge ist die einzige Menge mit der Kardinalität (Mächtigkeit) Null:

$\left\vert \varnothing \right\vert = 0.$

Sie ist daher auch der einzige Repräsentant der Kardinalzahl 0 und der Ordinalzahl 0. Insbesondere ist sie eine endliche Menge.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom | Fundierungsaxiom | Leermengenaxiom | Paarmengenaxiom | Vereinigungsaxiom | Potenzmengenaxiom | Unendlichkeitsaxiom | Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom | Ersetzungsaxiom