Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra.

Definition

Für einen komplexen Hilbertraum H mit Skalarprodukt $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle$ und einen beschränkten linearen Operator $T:H\to H$ ist der numerische Wertebereich von T gegeben durch

$W(T):=\left\{\langle Tx,x\rangle:\lVert x\rVert=1\right\},$

wobei $\lVert{\cdot}\rVert$ die durch $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle$ auf H induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch $w(T):=\sup\{|\lambda|:\lambda\in W(T)\}$.

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

$W(A)=\left\{\frac{x^*Ax}{x^*x}:x\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\right\}.$

W(A) ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren $T:H\to H$.

• $W(T)\subseteq\{\lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|\leq\lVert T\rVert\}$ bzw. äquivalent dazu $w(T)\leq\lVert T\rVert$. Hierbei bezeichnet $\lVert T\rVert$ die Operatornorm von T.
• Der numerische Wertebereich von T ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
• Das Spektrum σ(T) liegt im Abschluss von W(T): $\sigma(T)\subseteq\overline{W(T)}$. Ist H endlich-dimensional, gilt sogar $\sigma(T)\subseteq W(T)$.
• Jedes $\lambda\in W(T)$, für das $|\lambda|=\lVert T\rVert$ gilt, ist ein Eigenwert von T.

Anwendungen

Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix A ist dies

$\mu(A)=\max\left\{ x^*Ax:\ x^*x=1\right\}.$

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

$\|e^{tA}\|_2\le e^{t\mu(A)},\ t\ge 0.$

Denn y(t) = e^tAy₀ löst das Anfangswertproblem $y'(t)=Ay(t),\,y(0)=y_0$. Dann gilt für die Euklidnorm $N(t)=\|y(t)\|^2$, dass ihre Ableitung die Ungleichung $N'(t)=2y(t)^*y'(t)=2y(t)^*Ay(t)\le2\mu(A) y(t)^*y(t)=\mu(A) N(t)$ erfüllt, woraus $N(t)\le e^{2t\mu(A)}N(0)$ folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.